XVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $ C $ i $ D $, a środek $ N $ boku $ CD $ z wierzchołkami $ A $ i $ B $. Odcinki $ AN $ i $ DM $ przecinają się w punkcie $ P $, a odcinki $ BN $ i $ CM $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że pole czworokąta $ MQNP $ równa się sumie pól trójkątów $ APD $ i $ CQB $.

Rozwiązanie

Pole wielokąta $ ABC\ldots $ oznaczać będziemy symbolem $ (ABC\ldots) $. Stwierdzamy, że (rys. 1)

\[<br />
AM = MB \Longrightarrow (AMC) = (MBC),<br />
\]
\[<br />
CN = ND \Longrightarrow    (CNA) = (NDA).<br />
\]

Stąd

\[<br />
(AMC) + (CNA) = (MBC)+(NDA),<br />
\]

zatem

\[<br />
(1) \qquad  (AMCN) = (MBC) + (NDA).<br />
\]

Lecz

\[<br />
(2) \qquad  (ABCD) = (AMCN) + (MBC) + (NDA),<br />
\]

a z (1) i (2) wynika, że

\[<br />
(3) \qquad  (AMCN) = \frac{1}{2} (ABCD).<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
(4) \qquad  (MBND) = \frac{1}{2} (ABCD).<br />
\]

Otóż

\[<br />
(5) \qquad  (APD) + (CQB) = (ABCD) - (AMCN) - (MBND) + (MQNP).<br />
\]

Z (3), (4) i (5) otrzymujemy

\[<br />
(APD) + (CQB) = (MQNP),\ \textrm{c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź