XVIII OM - I - Zadanie 4

W okrąg o środku $ O $ wpisano trójkąt $ ABC $ i wyznaczono punkty $ A_1 $ i $ B_1 $ odpowiednio symetryczne, do wierzchołków $ A $ i $ B $ względem punktu $ O $ oraz punkt $ P $, w którym prosta przechodząca przez punkt $ A_1 $ i środek $ M $ boku $ BC $ przecina się z prostą poprowadzoną przez punkt $ B_1 $ i środek $ N $ boku $ AC $.
Dowieść, że środek ciężkości $ S $ trójkąta $ ABC $ leży na odcinku $ PO $ i dzieli go w stosunku $ 2:1 $.

Rozwiązanie

Ponieważ $ M $ i $ N $ są środkami boków $ BC $ i $ AC $, więc $ MN \parallel AB $ i $ MN = \frac{1}{2} AB $, zatem również $ MN \parallel A_1B_1 $ i $ MN = \frac{1}{2} A_1B_1 $, gdyż odcinki $ AB $ i $ A_1B_1 $ są symetryczne względem $ O $, więc są równolegle i równe (rys. 2). Wobec tego w trójkącie $ A_1B_1P $ końce $ M $ i $ N $ odcinka $ MN $ są środkami boków $ A_1P $ i $ B_1P $. Stąd wynika dalej, że $ AM $ jest środkową w trójkącie $ AA_1P $. Ponieważ punkt $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $, więc $ AS \colon SM = 2 \colon 1 $, wobec tego $ S $ jest również środkiem ciężkości trójkąta $ AA_1P $, zatem leży na środkowej $ PO $ tego trójkąta i dzieli ją w stosunku $ PS \colon SO = 2 \colon 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź