XVIII OM - I - Zadanie 5

Znaleźć takie liczby naturalne $ p $ i $ q $, żeby pierwiastki równań $ x^2-qx+p = 0 $ i $ x^2-px+q = 0 $ były liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie

Niech $ x_1 $, $ x_2 $ oraz $ y_1 $, $ y_2 $ oznaczają odpowiednio pierwiastki danych równań. Wówczas zachodzą równości:

\[<br />
(1) \qquad  x_1 + x_2 = q, \ x_1x_2=p,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  y_1 + y_2 = p,\   y_1y_2 = q.<br />
\]

Z równości (1) i (2) wynika, że

\[<br />
x_1x_2 + y_1y_2 = x_1 + x_2 + y_1 + y_2.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(x_1-1)(x_2-1) + (y_1-1)(y_2-1) = 2.<br />
\]

Ponieważ każda z liczb $ x_1-1 $, $ x_2-1 $, $ y_1-1 $, $ y_2-1 $ jest $ \geq 0 $, więc zachodzi jeden z przypadków

a) $ (x_1-1)(x_2-1) = 1,\     (y_1-1)(y_2-1) = 1; $

wówczas $ x_1-1 =x_2-1 = 1 $, więc $ x_1 = x_2 = 2 $, a stąd $ p = q = 4 $.

b) $ (x_1-1)(x_2-1) = 2,\    (y_1-1)(y_2-1) = 1; $

wtedy $ x_1-1 = 1 $, $ x_2-1 = 2 $ lub $ x_1-1 = 2 $, $ x_2-1 = 1 $, tzn. $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $ lub $ x_1 = 3 $, $ x_2 = 2 $.

Stąd $ p = 6 $, $ q = 5 $.

c) $ (x_1-1)(x_2-1) = 0, \    (y_1-1)(y_2-1) = 2; $

podobnie jak w b) otrzymujemy $ y_1 = 2 $, $ y_2 = 3 $ lub $ y_1 = 3 $, $ y_2 = 2 $, a stąd $ p = 5 $, $ q = 6 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź