XVIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c, d $ spełniają równania

\[<br />
\begin{split}<br />
a^2 + b^2 &= cd,\\<br />
c^2 + d^2 &= ab<br />
\end{split}<br />
\]

to

\[<br />
a = b = c = d = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Z danych równości wynika, że

\[<br />
a^2+b^2+c^2+d^2-ab-cd = 0,<br />
\]

zatem również

\[<br />
2a^2+ 2b^2+ 2c^2+ 2d^2- 2ab -  2cd = 0,<br />
\]

stąd

\[<br />
a^2+b^2+c^2+d^2+(a-b)^2 + (c-d)^2 = 0/<br />
\]

Każdy wyraz lewej strony tej równości jest $ \geq 0 $, suma tych liczb jest zatem równa zeru tylko wtedy, gdy każda z nich jest zerem, tj. gdy $ a = b = c = d = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź