XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $ 2n $ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $ n $ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

Rozwiązanie

Niech $ A_1, A_2, \ldots, A_{2n} $ będą danymi punktami płaszczyzny i niech $ a_{ik} $ ($ i, k = 1, 2, \ldots, 2n $, $ i  \ne  k $) oznacza prostą poprowadzoną przez punkty $ A_i $ i $ A_k $. Zbiór $ Z $ wszystkich prostych $ a_{ik} $ zawiera co najwyżej $ \binom{2n}{2} = n(2n-1) $ różnych prostych. Przez dowolnie obrany punkt $ P $ płaszczyzny można zatem poprowadzić co najwyżej $ n(2n- 1) $ prostych, z których każda jest prostopadła do jakiejś prostej zbioru $ Z $. Wobec tego przez punkt $ P $ przechodzą również proste, które nie są prostopadłe do żadnej z prostych zbioru $ Z $. Niech $ p $ będzie taką prostą i niech $ A_i' $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ A_i $ na prostą $ p $, a $ U $ - zbiorem, tych rzutów. Żadne dwa punkty $ A_i' $ i $ A_k' $ ($ i  \ne  k $) zbioru $ U $ nie pokrywają się, gdyż prosta $ A_iA_k $ nie jest prostopadła do prostej $ p $. Na prostej $ p $ leży zatem $ 2n $ różnych punktów $ A_i' $. Możemy ich numerację tak ustalić, że w pewnym zwrocie prostej $ p $ punkt $ A_i' $ poprzedza punkt $ A_{i+1}' $. Środek $ M $ odcinka $ A_n'A_{n+1}' $ dzieli prostą $ p $ na dwie półproste, z których każda zawiera $ n $ punktów zbioru $ U $. Prostopadła do prostej $ p $ poprowadzona przez punkt $ M $ dzieli wobec tęgo płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny, z których każda zawiera $ n $ punktów danego zbioru.

Analogiczne twierdzenie dla przestrzeni brzmi: Dla każdego zbioru $ 2n $ punktów przestrzeni istnieje taka płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z punktów zbioru, że w każdej z wyznaczonych przez nią półprzestrzeni leży $ n $
punktów danego zbioru.

Dowód może być poprowadzony zupełnie podobnie jak dla płaszczyzny.

Mianowicie przez dowolnie obrany punkt $ P $ przestrzeni można poprowadzić taką płaszczyznę $ \alpha $, która nie jest prostopadła do żadnej z prostych zbioru $ Z $ (zdefiniowanego analogicznie jak poprzednio dla płaszczyzny).

Rzuty prostokątne $ A_i' $ danych punktów $ A_i $ na płaszczyznę $ \alpha $ tworzą zbiór $ U $ zawierający $ 2n $ różnych punktów. Niech prosta $ p $ płaszczyzny $ \alpha $ nie przechodząca przez żaden punkt zbioru $ U $ dzieli płaszczyznę $ \alpha $ na takie półpłaszczyzny, z których każda zawiera $ n $ punktów zbioru $ U $. Wówczas płaszczyzna $ \pi $ poprowadzona przez prostą $ p $ prostopadle do $ \alpha $ jest płaszczyzną o żądanej własności.

Uwaga. W taki sam sposób można udowodnić twierdzenie ogólniejsze. Mianowicie zbiór $ n $ punktów płaszczyzny (przestrzeni) można podzielić na $ 2 $ części, z których jedna zawiera $ k $ punktów, a druga $ n - k $ punktów, prowadząc w płaszczyźnie (przestrzeni) prostą (płaszczyznę) nie zawierającą żadnego z tych punktów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź