XVIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli liczby $ \alpha^2 $, $ \beta^2 $, $ \alpha\beta $ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $ k $, $ a $ i $ b $, że

\[<br />
\alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab.<br />
\]

Rozwiązanie

Gdy $ \alpha \ne  0 $, $ \beta \ne  0 $, to liczba $ \frac{\alpha}{\beta} $ jest wymierna, gdyż jest ilorazem liczb wymiernych $ \alpha^2 $ i $ \alpha \beta $. Wówczas liczby $ k = \beta^2 $, $ a = \frac{\alpha}{\beta} $ i $ b = 1 $ spełniają warunek zadania.

Gdy $ \alpha \ne  0 $, $ \beta = 0 $, wówczas liczbami żądanymi są na przykład $ k = \alpha^2 $, $ a = 1 $, $ b = 0 $.

Gdy $ \alpha = 0 $, liczbami takimi są np. $ a = 0 $, $ k= \beta^2 $, $ b = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź