XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

Rozwiązanie

Poszukiwana trójka liczb ma postać $ (a, aq, aq^2) $, gdzie $ a $ i $ q $ są liczbami całkowitymi różnymi od zera. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Najmniejszą z liczb tej trójki jest $ a $ lub $ aq^2 $. Nową trójką liczb jest wtedy $ (a+9, aq, aq^2) $ lub $ (a, aq, aq^2+9) $; warunek, aby to był postęp arytmetyczny, wyraża równość $ 2aq = aq^2+a+9 $, którą możemy napisać w postaci

\[<br />
a(q- 1)^2 = -9.<br />
\]

Stąd wynika, że

\[<br />
a = - 1,\ (q- 1)^2 = 9,\textrm{ więc } q = 4 \textrm{ lub } q = -2,<br />
\]

bądź też

\[<br />
a = - 9,\     (q- 1)^2 = 1,\textrm{ więc }     q = 2.<br />
\]

Otrzymujemy trójki liczb: $ ( - 1, -4, -16) $, $ ( - 1, 2, -4) $, $ ( - 9, -18, -36) $; stwierdzamy, że są one istotnie rozwiązaniami zadania.

b) Najmniejszą z liczb $ a, aq, aq^2 $ jest $ aq $. Nową trójkę tworzą wtedy liczby $ a, aq+ 9, aq^2 $; warunek, aby to był postęp arytmetyczny wyraża równość $ 2(aq+9) = aq^2+a $, której nadamy postać

\[<br />
a(q- 1)^2 = 18.<br />
\]

Z tej równości wynika, że

\[<br />
a = 2, \    (q- 1)^2 = 9, \textrm{ więc }    q = 4 \textrm{ lub } q = -2,<br />
\]

bądź też

\[<br />
a = 18, \    (q- 1)^2 = 1, \textrm{ więc }    q = 2.<br />
\]

Otrzymujemy trójki liczb: $ (2, 8, 32) $, $ (2, -4, 8) $, $ (18, 36, 72) $, z których tylko druga spełnia warunki zadania.

Zadanie ma więc cztery rozwiązania: $ ( - 1, -4, -16) $, $ ( -1,2, -4) $, $ (-9, -18, -36) $, $ (2, -4, 8) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź