XVIII OM - I - Zadanie 11

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia: $ O_1, O_2, O_3 $ - środki danych okręgów, $ M $ punkt wspólny wszystkich trzech okręgów, $ A_1, A_2, A_3 $ różne od $ M $ punkty przecięcia okręgów odpowiednio o środkach $ O_2 $ i $ O_3 $, $ O_3 $ i $ O_1 $, $ O_1 $ i $ O_2 $ (rys. 4).

Wszystkie boki czworokąta $ O_1A_2O_3M $ są równe (jako promienie danych okręgów), czworokąt ten jest więc rombem. Stąd wynika, że wektory $ \overrightarrow{O_1A_2} $ i $ \overrightarrow{MO_3} $ są równe. Tak samo stwierdzamy, że $ \overrightarrow{O_2A_1} = \overrightarrow{MO_3} $, zatem $ \overrightarrow{O_1A_2} = \overrightarrow{O_2A_1} $. Czworokąt $ O_1A_2A_1O_2 $ jest wobec tego równoległobokiem, więc ma boki przeciwległe równe, $ A_1A_2 = O_1O_2 $. Tak samo $ A_2A_3 = O_2O_3 $ i $ A_3A_1 = O_3O_1 $, trójkąty $ A_1A_2A_3 $ i $ O_1O_2O_3 $ są zatem przystające. Ponieważ promień okręgu opisanego na trójkącie $ O_1O_2O_3 $ równa się promieniowi danych okręgów, więc to samo zachodzi dla trójkąta $ A_1A_2A_3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź