XVIII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli punkty $ A, B, C, D, E $ przestrzeni są tak położone, że

\[<br />
(1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD =  \measuredangle CDE =  \measuredangle DEA =  \measuredangle EAB,<br />
\]

to punkty $ A, B, C, D, E $ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Załóżmy, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $ spełniają warunki (1) i (2). Wykażemy najpierw, że żadne dwa z tych punktów nie mogą się pokrywać. Wystarczy dowieść, że punkt $ A $ nie może się pokrywać z $ B $ ani z $ C $, gdyż każdy inny przypadek pokrywania się punktów sprowadza się do jednego z tych dwóch przez zmianę oznaczeń.

a) Gdyby punkt $ A $ pokrywał się z punktem $ B $, wówczas wobec równości (1) pokrywałyby się wszystkie pięć punktów i nie byłby spełniony warunek (2), gdyż nie istniałyby wymienione w nim kąty.

b) Gdyby punkt $ A $ pokrywał się z punktem $ C $, $ \measuredangle ABC $ byłby równy $ 0 $, więc na mocy (2) punkty $ A $, $ B $, $ D $, $ E $ leżałyby na jednej prostej $ p $. Z równości $ \measuredangle  BAD = 0 $ i $ \measuredangle  EAB = 0 $ wynikałoby wtedy, że punkty $ B $, $ D $, $ E $ leżą na $ p $ po tej samej stronie punktu $ A $, wobec czego z równości $ \measuredangle DEA = 0 $ wynikałoby, że punkt $ D $ leży między $ A $ i $ E $, a według równości $ \measuredangle  ADE = 0 $ punkt $ E $ musiałby leżeć między $ A $ i $ D $. Wobec tej sprzeczności przypadek b) zdarzyć się nie może.

Z równości wszystkich boków oraz wszystkich kątów pięciokąta $ ABCDE $ wynika równość wszystkich jego przekątnych. Na przykład $ AC = BD $, gdyż trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ są przystające. Niech $ a $ oznacza długość boków, $ b $ - długość przekątnych pięciokąta, a symbol $ O(r) $ powierzchnię kuli, czyli sferę o środku $ O $ i promieniu $ r $.

Wybierzmy trzy niekolejne wierzchołki pięciokąta, np. $ A $, $ B $, $ D $ i rozpatrzmy położenie pozostałych wierzchołków $ C $ i $ E $ względem $ A $, $ B $ i $ D $. Punkt $ C $ jest punktem wspólnym sfer $ A(b) $, $ B(a) $ i $ D(a) $, a punkt $ E $ - punktem wspólnym sfer $ B(b) $, $ A(a) $ i $ D(a) $, które powstają z trzech poprzednich sfer, gdy je przekształcimy przez symetrię względem płaszczyzny symetralnej odcinka $ AB $. W tym przekształceniu punktowi $ C $ odpowiada punkt wspólny $ E' $ sfer $ A(a) $, $ B(b) $, $ D(a) $. Zachodzi więc któryś z dwóch przypadków:

a) punkt $ E $ pokrywa się z punktem $ E' $, tzn. $ C $ i $ E $ leżą symetrycznie względem płaszczyzny symetralnej odcinka $ AB $; przekątna $ CE $ jest wtedy równoległa do prostej $ AB $ i punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą w jednej płaszczyźnie;

b) punkt $ E $, wspólny sferom $ A(a) $, $ B(b) $, $ D(a) $ jest różny od ich punktu wspólnego $ E' $; wtedy $ E $ jest punktem symetrycznym do $ E' $ względem płaszczyzny $ ABD $ środków tych sfer, a więc $ E $ jest punktem symetrycznym do $ C $ względem symetralnej $ DM $ odcinka $ AB $. Przekątna $ CE $ przecina wówczas prostą $ DM $ w pewnym punkcie $ N $. Przypadki a) i b) mogą oczywiście zachodzić równocześnie.

Analogiczne dwie możliwości istnieją dla każdej przekątnej pięciokąta $ ABCDE $. Jeżeli dla którychś dwóch przekątnych zachodzi przypadek a), to istnieją dwie różne czwórki wierzchołków pięciokąta, z których każda leży w jednej płaszczyźnie, zatem wszystkie wierzchołki leżą w jednej płaszczyźnie.

Jeżeli zaś choćby dla trzech przekątnych pięciokąta zachodzi przypadek b), to dwie z tych przekątnych wychodzą z jednego wierzchołka; niech to będą np. $ CE $ i $ CA $; $ CE $ przecina wtedy symetralną $ DM $ odcinka $ AB $ w pewnym punkcie $ N $, a $ CA $ przecina symetralną $ BK $ odcinka $ DE $ w pewnym punkcie $ L $. W takim razie punkty $ D $, $ E $, $ C $, $ K $, $ M $, $ N $, leżą w jednej płaszczyźnie; to samo stwierdzamy dla punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ K $, $ L $, $ M $. Zatem wszystkie te punkty leżą w jednej płaszczyźnie.

Uwaga. Powyższe rozwiązanie zadania można ująć prościej, gdy się skorzysta z własności izometrii, tj. przekształceń nie zmieniających odległości punktów. Przyporządkujmy punktom $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ od powiednio punkty $ B $, $ A $, $ E $, $ D $. Wobec równości boków i równości przekątnych pięciokąta to przekształcenie pierwszej czwórki punktów na drugą jest izometrią. Można ją rozszerzyć na przekształcenie izometryczne całej przestrzeni. Otóż wiadomo, że izometrią przestrzeni, w której punktom $ A $, $ B $, $ D $ odpowiadają punkty $ B $, $ A $, $ D $ jest symetrią względem płaszczyzny symetralnej odcinka $ AB $, lub symetrią względem symetralnej $ MD $ tego odcinka. Zatem $ E $ jest punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem tej płaszczyzny lub względem prostej $ MD $. Dalszy ciąg dowodu pozostaje bez zmian.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź