XVIII OM - II - Zadanie 1

Dany jest ciąg liczb $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n  \geq  3 $), w którym $ a_1 = a_n = 0 $ oraz $ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1} $ dla $ k = 2, 3, \ldots, (n - 1) $. Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

Rozwiązanie

W zbiorze skończonym liczb $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieje co najmniej jedna liczba nie mniejsza od żadnej z tych liczb. Przypuśćmy, że taką liczbą jest $ a_r $, tzn. że $ a_i \leq a_r $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $. Niech $ s $ będzie najmniejszym wskaźnikiem o tej własności, że $ a_s = a_r $. Dowiedziemy, że $ s=1 $. Istotnie, gdyby było $ s > 1 $, to zachodziłyby nierówności

\[<br />
a_{s-1} < a_s, \textrm{ według definicji wskaźnika } s,<br />
\]
\[<br />
a_{s+1} \leq a_s, \textrm{ ponieważ } a_s = a_r.<br />
\]

Dodając te nierówności otrzymujemy

\[<br />
a_{s-1} + a_{s+1} < 2a_s,<br />
\]

co przeczy założeniu twierdzenia.

Jeśli zaś $ s = 1 $, znaczy to, że $ a_r = a_1 = 0 $, zatem $ a_i \leq 0 $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $.

Uwaga. W powyższym dowodzie powołaliśmy się na twierdzenie, że w każdym skończonym zbiorze liczb $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieje taka liczba $ a_r $, że $ a_i \leq a_r $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $.

Twierdzenie to, zwane zasadą maksimum, jest łatwym wnioskiem z zasady indukcji. Odwrotnie, zasada indukcji wynika z zasady maksimum. Przeprowadzenie dowodu tej równoważności proponujemy jako ćwiczenie.

Komentarze

Dokładność

Prosiłbym bardziej przykładać się do przepisywania poleceń...

Dodaj nową odpowiedź