XVIII OM - II - Zadanie 3

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ A $. Poprowadzono cięciwę $ BC $ większego okręgu styczną do mniejszego w punkcie $ D $. Dowieść, że $ AD $ jest dwusieczną kąta $ BAC $.

Rozwiązanie

Punkt styczności $ A $ danych okręgów jest ich środkiem jednokładności. W tej jednokładności stycznej $ BC $ mniejszego okręgu odpowiada styczna do większego okręgu w punkcie $ E $ odpowiadającym punktowi $ D $ (rys. 6). Jako proste jednokładne, styczne te są równoległe. W takim razie łuki $ BE $ i $ EC $ większego okręgu, wyznaczone przez styczną w punkcie $ E $ i równoległą do niej cięciwę $ BC $, są równe. Stąd wynika, że kąty wpisane $ BAE $ i $ EAC $ są równe, tzn. $ AE $ jest dwusieczną kąta $ BAC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź