XVIII OM - II - Zadanie 4

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

\[<br />
(1) \qquad xy+yz+zx = xyz + 2.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że trójka $ (x, y, z) $ liczb naturalnych spełnia równanie (1) . Po podzieleniu obu stron równości (1) przez $ xyz $ otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 + \frac{2}{xyz}.<br />
\]

Któraś z liczb $ x $, $ y $, $ z $ jest mniejsza od $ 3 $; gdy bowiem $ x \geq 3 $, $ y \geq 3 $, $ z \geq 3 $, wtedy lewa strona równości (2) jest $ \leq 1 $, a prawa strona jest $ > 1 $.

Gdy $ x < 3 $, zachodzi jeden z przypadków:

a) $ x = 1 $; z równości (1) wynika wtedy, że

\[<br />
y+z = 2, \textrm{ skąd }    y = 1, z = 1.<br />
\]

b) $ x = 2 $; z równości (1) otrzymujemy $ 2y + yz + 2z = 2 yz +2 $, skąd

\[<br />
yz - 2y - 2z = - 2, \textrm{ więc }<br />
\]
\[<br />
(y-2)(z-2) = 2.<br />
\]

Zatem $ y-2 = 1 $, $ z-2 = 2 $ lub $ y-2 = 2 $, $ z-2 = 1 $, tzn. $ y = 3 $, $ z = 4 $ lub $ y = 4 $, $ z = 3 $.

Analogiczne rozwiązania otrzymujemy zakładając, że $ y = 2 $ lub że $ z = 2 $.

Równanie (1) ma zatem $ 7 $ rozwiązań w liczbach naturalnych:

\[<br />
(1, 1, 1),\ (2, 3, 4),\ (2, 4, 3),\ (3, 2, 4),\ (4, 2, 3),\ (3, 4, 2),\ (4, 3, 2).<br />
\]

Uwaga : Ponieważ

\[<br />
(x-1)(y-1)(z-1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x+y+z)-1,<br />
\]

więc równanie (1) jest równoważne równaniu

\[<br />
\nr{1a} (x-1)(y-1)(z-1) = x+y+z-3,<br />
\]

które po podstawieniu $ x-1 = X $, $ y -1=Y $, $ z-1=Z $ przybiera postać

\[<br />
\nr{Ib} XYZ = X + Y + Z.<br />
\]

Rozwiązanie równania (1b) w liczbach naturalnych było tematem Nr 9 w XVII Olimpiadzie Matematycznej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź