XVIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, ze punkty $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ ($ n \geq 7 $) znajdujące się na powierzchni kuli leżą wtedy i tylko wtedy na okręgu, gdy płaszczyzny styczne do powierzchni kuli w tych punktach mają punkt wspólny lub są równoległe do jednej prostej.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że punkty $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ powierzchni kuli o środku $ O $ leżą na okręgu $ k $. Niech $ \alpha_1 $ oznacza płaszczyznę styczną do kuli w punkcie $ A_i $ ($ i= 1,2, \ldots, n $), a $ \pi $ - płaszczyznę okręgu $ k $.

Jeżeli środkiem okręgu $ k $ jest punkt $ 0 $, to płaszczyzna $ \alpha_i $ jest prostopadła do promienia $ OA_i $, więc jest prostopadła do płaszczyzny $ \pi $ zawierającej prostą $ OA_i $. Zatem płaszczyzna $ \alpha_i $ jest równoległa do każdej prostej prostopadłej do $ \pi $.

Jeżeli zaś środkiem okręgu $ k $ jest punkt $ S $ różny od $ O $ (rys. 10), to płaszczyzna $ \pi $ jest prostopadła do prostej $ OS $, zatem w trójkącie $ OSA_i $ kąt $ S $ jest prosty, a kąt $ O $ jest ostry, wobec czego prosta $ OS $ przecina płaszczyznę $ \alpha_i $ w pewnym punkcie $ T_i $. W trójkącie $ OA_iT_i $ kąt $ A_i $ jest prosty, zachodzi zatem równość $ OA_i^2 = OT_i \cdot OS $, stąd

\[<br />
OT_i = \frac{OA_i^2}{OS}.<br />
\]

Odcinek $ OA_i $ równa się promieniowi kuli, więc odcinek $ OT_i $ ma dla każdego $ i $ tę samą długość, a ponieważ wszystkie punkty $ T_i $ leżą na tej samej półprostej $ OS $, więc się pokrywają.

b) Załóżmy, że wszystkie płaszczyzny $ \alpha_i $ są równoległe do prostej $ l $ lub wszystkie mają punkt wspólny $ T $. W pierwszym przypadku wszystkie odcinki $ OA_i $ są prostopadłe do prostej $ l $, więc leżą w jednej płaszczyźnie $ \pi $, wobec czego wszystkie punkty $ A_i $ leżą na okręgu $ k $, według którego płaszczyzna $ \pi $ przecina powierzchnię danej kuli. W drugim przypadku prosta $ TA_i $ jest dla każdego $ i $ styczna do powierzchni kuli, więc jest prostopadła do promienia $ OA_i $. Niech $ A_iS_i $ będzie wysokością trójkąta prostokątnego $ OA_iT $ na przeciwprostokątną $ OT $; wówczas $ OA_i^2 = OT \cdot OS_i $, zatem

\[<br />
OS_i = \frac{OA_i^2}{OT},<br />
\]

skąd wynika, że wszystkie odcinki $ OS_i $ są równe. Ponieważ zaś wszystkie punkty $ S_i $ leżą na odcinku $ OT $, więc się pokrywają. Zatem wszystkie odcinki $ A_iS_i $ leżą w jednej płaszczyźnie $ \pi $, wobec czego wszystkie punkty $ A_i $ leżą na przecięciu płaszczyzny $ \pi $ z powierzchnią kuli, tj. na pewnym okręgu $ k $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź