XVIII OM - III - Zadanie 1

Znaleźć najwyższą potęgę liczby 2 będącą dzielnikiem liczby

\[<br />
L_n = (n+1)(n+2)\ldots 2n,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

\spos{1} Zauważmy, że $ n!L_n = (2n)! $. Zatem

\[<br />
L_n = \frac{(2n)!}{n!} =<br />
\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} =<br />
1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1) \cdot<br />
\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1) \cdot 2^n.<br />
\]

Stąd wynika, że $ L_n $ jest podzielne przez $ 2^n $, ale nie jest podzielne przez $ 2^{n+1} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź