XVIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli punkty $ A_1, B_1, C_1 $ leżące odpowiednio na bokach $ BC, CA, AB $ trójkąta $ ABC $ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $ P $ trójkąta na te boki, to

\[<br />
(1) AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Z trójkątów prostokątnych $ APB_1 $, $ BPC_1 $, $ CPA_1 $ (rys. 11) otrzymujemy odpowiednio równości

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
AB_1^2 = AP^2 - PB^2_1,\\<br />
BC_1^2 = BP^2 - PC^2_1,\\<br />
CA_1^2 = CP^2 - PA^2_1,<br />
\end{array}<br />
\]

a z trójkątów prostokątnych $ APC_1 $, $ BPA_1 $, $ CPB_1 $ odpowiednio równości

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
AC^2_1 = AP^2 - PC^2_1,\\<br />
BA^2_1 = BP^2 - PA^2_1,\\<br />
CB^2_1 = CP^2 - PB^2_1.<br />
\end{array}<br />
\]

Suma prawych stron równości (2) jest równa sumie prawych stron równości (3). Istotnie więc zachodzi równość (1).

Uwaga. Łatwo uzyskać twierdzenie znacznie ogólniejsze od powyższego. Równości (2) i (3), z których wynika równość (1) są mianowicie słuszne przy założeniach o wiele słabszych od tych, które były podane w tekście twierdzenia. Na przykład równość $ AB^2_1 = AP^2- PB^2_1 $ zachodzi, gdy punkty $ A $, $ P $, $ B $ są różne, a proste $ AB_1 $ i $ PB_1 $ są prostopadłe lub gdy choć jeden z punktów $ A $ i $ P $ pokrywa się z punktem $ B_1 $. To samo dotyczy innych równości z układów (2) i (3). Wobec tego prawdziwe jest twierdzenie:

Jeżeli $ A $, $ B $, $ C $, $ P $ są punktami przestrzeni, z których pierwsze trzy są różne, a $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $ P $ na proste $ BC $, $ CA $, $ AB $, to zachodzi równość (1).

Dla przypadku, gdy punkty $ A $, $ B $, $ C $ są niewspółliniowe zachodzi również twierdzenie odwrotne:

Jeżeli punkty $ A $, $ B $, $ C $ są wierzchołkami trójkąta, a punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ leżące odpowiednio na prostych $ BC $, $ CA $, $ AB $ spełniają warunek (1), to $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $ P $ odpowiednio na proste $ BC $, $ CA $, $ AB $.

Dowód. Poprowadźmy w płaszczyźnie $ ABC $ przez punkt $ A_1 $ prostopadłą do prostej $ BC $, a przez punkt $ B_1 $ prostopadłą do prostej $ AC $; przetną się one w pewnym punkcie $ P $. Niech $ C_2 $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ P $ na prostą $ AB $. Według udowodnionego poprzednio twierdzenia

\[<br />
(4) \qquad  AC_2^2 +BA_1^2 +CB_1^2  = AB_1^2 +BC_2^2 +CA_1^2.<br />
\]

Odejmując równości (1) i (4) otrzymujemy

\[<br />
(5) \qquad  AC_1^2 -AC_2^2  = BC_1^2 -BC_2^2 .<br />
\]

Z równości (5) wywnioskujemy, że punkt $ C_2 $ pokrywa się z punktem $ C_1 $. Najdogodniej posłużyć się w tym celu rachunkiem wektorowym.

Równość (5) zapiszemy w postaci wektorowej

\[<br />
\overrightarrow{AC^2_1} - \overrightarrow{AC_2^2} =<br />
\overrightarrow{BC_1^2} - \overrightarrow{BC_2^2}.<br />
\]

Stąd otrzymujemy kolejno

\[<br />
(\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AC})<br />
(2 \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{AC_2}) =<br />
(\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{BC_2})<br />
(\overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{BC_2}),<br />
\]
\[<br />
\overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{AC_2}) =<br />
\overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{BC_2}),<br />
\]
\[<br />
\overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{AC_2} - \overrightarrow{BC_2}) = 0,<br />
\]
\[<br />
\overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}) = 0,<br />
\]
\[<br />
\overrightarrow{C_2C_1} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.<br />
\]

Ponieważ wektory $ \overrightarrow{AB} $ i $ \overrightarrow{C_2C_1} $ nie są prostopadłe (punkty $ C_1 $ i $ C_2 $ leżą na prostej $ AB $), a wektor $ \overrightarrow{AB} $ jest według założenia różny od zera, więc z powyższej równości wynika, że

\[<br />
\overrightarrow{C_2C_1} = 0,<br />
\]

tzn. punkty $ C_1 $ i $ C_2 $ pokrywają się, wobec czego $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ są rzutami prostokątnymi punktu $ P $ na proste $ BC $, $ CA $, $ AB $ c.n.d. Tę samą własność ma każdy punkt prostej prostopadłej do płaszczyzny $ ABC $ w punkcie $ P $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź