XVIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że wielomian $ x^3 + x + 1 $ jest dzielnikiem wielomianu $ P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1} $ dla każdego całkowitego $ n \geq 0 $.

Rozwiązanie

Stosujemy indukcję zupełną. Dla $ n = 0 $ twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $ P_0(x) = x^2+ x + 1 $. Załóżmy, że dla pewnego naturalnego $ n $ wielomian $ P_n (x) $ jest podzielny przez $ x^2+x+1 $. Utwórzmy wielomian

\[<br />
\begin{split}<br />
P_{n+1}(x) - xP_n(x) &= x^{n+3} + (x+1)^{2n+3} - [x^{n + 3} + x( x+ 1)^{2n+1}] =\\<br />
& = x^{2n+1} [(x+1)^2-x] = x^{2n+1}(x^2 + x+1).<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
P_{n+1}(x) = x \cdot P_n(x) + x^{2n+1} (x^2 + x+1).<br />
\]

Wobec tej równości z założenia indukcyjnego wynika, że wielomian $ P_{n+1}(x) $ jest podzielny przez $ x^2+x+1 $; wypowiedziane wyżej twierdzenie jest więc prawdziwe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź