XVIII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków wpisany, w okrąg ma wszystkie kąty równe, to wielokąt ten jest foremny.

Rozwiązanie

Załóżmy, że wielokąt $ W $ o kolejnych wierzchołkach $ A_1, A_2, \ldots, A_n $, gdzie $ n $ jest liczbą nieparzystą, ma wszystkie kąty równe i jest wpisany w okrąg $ O(r) $. Gdy $ n = 3 $, teza twierdzenia jest oczywista, przyjmiemy więc, że $ n \geq 5 $.

Niech $ A_{i-1}, A_i, A_{i+1} $ będą trzema kolejnymi wierzchołkami wielokąta $ W $ i niech w tym wielokącie $ \measuredangle A_{i-1}A_iA_{i+1} = \alpha $ (rys. 13); ponieważ $ n \geq 5 $, więc $ \alpha \geq 108^\circ $.

Według twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg kąt wklęsły $ A_{i-1}OA_{i+1} = 2 \alpha $, więc kąt wypukły $ A_{i-1}OA_{i+1} = 360^\circ - 2\alpha = \beta $. Obróćmy wielokąt $ W $ dokoła punktu $ O $ o kąt $ \beta $, np. w kierunku wyznaczonym przez obieg $ A_1A_2\ldots A_n $ wielokąta $ W $. Wierzchołek $ A_{i-1} $ znajdzie się po tym obrocie w punkcie $ A_{i+1} $, tzn., każdy wierzchołek wielokąta $ W $ pokryje wierzchołek o wskaźniku o $ 2 $ większym, z tym, że za wskaźniki o $ 2 $ większe od $ n-1 $ i $ n $ uważamy $ 1 $ i $ 2 $. A więc punkty

\[<br />
(1) \qquad  A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{n-2}, A_{n-1}, A_n<br />
\]

pokryją odpowiednio punkty

\[<br />
(2) \qquad  A_3, A_4, A_5, \ldots, A_n, A_1, A_2.<br />
\]

Każdy odcinek łączący dwa punkty ciągu (1) pokryje odcinek łączący odpowiednie punkty ciągu (2). Zatem przy nieparzystym $ n $

\[<br />
A_1A_2 = A_3A_4 = A_5A_6 = A_{n-2}A_{n-1} = A_n A_1,<br />
\]

oraz

\[<br />
A_2A_3 = A_4A_5 = A_6A_7 = A_{n-1}A_{n} = A_1 A_2,<br />
\]

wszystkie boki wielokąta $ W $ są równe, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź