XVII OM - I - Zadanie 1

Przedstawić wielomian $ x^5 + x + 1 $ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że poszukiwany rozkład istnieje. Żaden z czynników tego rozkładu nie może być stopnia pierwszego. Gdyby bowiem dla każdego $ x $ zachodziła równość

\[<br />
x^5+ x+1 = (mx+n) (ax^4 + bx^3 + \ldots),<br />
\]

gdzie liczby $ m, n, a, b, \ldots $ są całkowite, to stąd wynikałoby, że $ ma = 1 $, zatem $ m = a = \pm 1 $, więc wielomian $ x^5+x+1 $ miałby pierwiastek całkowity $ -\frac{n}{m} $. To zaś jest niemożliwe, gdyż dla każdego całkowitego $ x $ liczba $ x^5 + x + 1 $ jest nieparzysta.

Stąd wynika, że żądany rozkład ma postać

\[<br />
x^5 + x + 1 = (mx^2+nx+p) (ax^3+bx^2+cx+d),<br />
\]

gdzie liczby $ m, n, p, a, b, c, d $ są całkowite.

W takim razie $ ma= 1 $, $ pd= 1 $, więc $ m = a = \pm 1 $, $ p = d = \pm 1 $.

Możliwe są zatem cztery przypadki, z których wystarczy rozpatrzyć dwa; pozostałe sprowadzają się do nich przez zmianę znaku obu czynników rozkładu.

a) Gdy $ m = a=1 $, $ p=d=1 $, wtedy z porównania współczynników przy jednakowych potęgach $ x $ po obu stronach równości

\[<br />
x^5 + x +1 = (x^2+nx+1) (x^3+bx^2+cx+1)<br />
\]

otrzymujemy

\[<br />
\begin{array}{cc}<br />
(1) \qquad  b+n = 0 & (3) \qquad       1+nc+b = 0\\<br />
(2) \qquad  c+nb+1 = 0 & (4) \qquad  n+c = 1.<br />
\end{array}<br />
\]

Układ równań (1) - (4) ma jedno rozwiązanie $ n= 1 $, $ b=- 1 $, $ c=0 $, co daje rozkład

\[<br />
x^5+x+1 = (x^2+x+1) (x^3- x^2 +1).<br />
\]

b) Gdy $ m = a=1 $, $ p = d=- 1 $, otrzymujemy podobnie jak w przypadku a) układ równań

\[<br />
\begin{array}{cc}<br />
(1') \qquad b+n = 0 & \nr{3'} -1+nc-b = 0\\<br />
(2') \qquad c+nb -1 = 0 & \nr{4'} -n-c=1.<br />
\end{array}<br />
\]

Łatwo sprawdzić, że układ ten nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem zadania jest zatem wzór

\[<br />
x^5+x+1 = (\varepsilon x^2+\varepsilon x+\varepsilon) (\varepsilon x^3-\varepsilon x^2+\varepsilon),<br />
\]

gdzie $ \varepsilon = \pm 1 $.

Uwaga. Rozkład, o który chodzi w zadaniu, można by znaleźć szybko w sposób następujący:

\[<br />
\begin{split}<br />
x^5+x+1 & = x^5- x^2 + x^2 + x +1 = x^2(x^3- 1)+ x^2 + x + 1 = \\<br />
& = x^2(x- 1) (x^2+ x+1) + (x^2+x+1) = (x^2+x+1) (x^3-x^2+1).<br />
\end{split}<br />
\]

Takie rozwiązanie zadania wymaga jeszcze dowodu, że nie ma już innego rozkładu poza tym, który otrzymamy zmieniając znaki obu znalezionych czynników. Najłatwiej to wykazać posługując się liczbami zespolonymi. Niech $ x_1 $, $ x_2 $ oznaczają pierwiastki wielomianu $ x^2+x+1 $, a $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $ - pierwiastki wielomianu $ x^3-x^2+1 $.

Wówczas

\[<br />
x^5 + x + 1 = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) (x-x_4) (x-x_5).<br />
\]

Każdy dzielnik kwadratowy wielomianu $ x^5+x+1 $ mający współczynniki całkowite jest postaci $ m(x-x_i) (x-x_k) $, gdzie liczba $ m $ jest całkowita, a $ x_i $, $ x_k $ są dwoma pierwiastkami wielomianu. Otóż łatwo stwierdzić, że takim dzielnikiem może być tylko $ m(x-x_1) (x-x_2) $. Przeprowadzenie szczegółowego dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wskazówka. Jedna z liczb $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $ jest liczbą rzeczywistą niewymierną, a dwie pozostałe są liczbami zespolonymi sprzężonymi, których suma i iloczyn są niewymierne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź