XVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba rzeczywista $ x_1 $ spełnia równanie $ x^3+2px+q = 0 $ ($ p, q $ - dane liczby rzeczywiste), to $ x_1q \leq p^2 $.

Rozwiązanie

Gdy $ x_1 = 0 $, nierówność $ x_1q \leq p^2 $ jest prawdziwa, załóżmy wobec tego, że $ x_1 \ne 0 $.

Według założenia $ x_1^3+2px_1+q = 0 $, zatem liczba $ x_1 $ jest pierwiastkiem równania kwadratowego

\[<br />
x_1x^2 + 2px + q = 0.<br />
\]

Wyróżnik tego równania jest więc nieujemny, zatem $ p^2- x_1q \geq 0 $, stąd $ x_1q \leq p^2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź