XVII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg.

Rozwiązanie

Stwierdzamy najpierw, że każdy punkt $ S $ leżący wewnątrz koła jest środkiem ciężkości pewnego trójkąta wpisanego w to koło. Istotnie, jeżeli punkt $ S $ leży na promieniu $ OC =r $ (rys. 1), punkt $ M $ na przedłużeniu $ CS $ poza punkt $ S $, przy czym $ CM = \frac{3}{2} CS $, wobec czego $ CM < 2r $, to prowadząc przez $ M $ cięciwę $ AB $ koła prostopadłą do $ CM $ otrzymujemy trójkąt równoramienny $ ACB $ o środku ciężkości $ S $.

Jeżeli przy tym $ OS < \frac{1}{3} OC $, to $ CS > \frac{2}{3} OC $, $ CM>OC $, więc też $ CM > AM $, zatem $ \measuredangle ACM < 45^\circ $, skąd wynika, że trójkąt $ ACB $ jest ostrokątny.

Okazało się, że każdy punkt wewnętrzny koła współśrodkowego z danym kołem i mającego trzy razy mniejszy promień jest środkiem ciężkości trójkąta ostrokątnego wpisanego w dane koło.

Udowodnimy, że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Przypuśćmy, że $ ABC $ jest trójkątem ostrokątnym wpisanym w dane koło, a $ S $ jego środkiem ciężkości. Mamy dowieść, że $ OS < \frac{1}{3} r $.

Gdy $ AC=BC $, teza jest oczywista, gdyż punkt $ O $ leży wówczas na środkowej $ CM $ trójkąta i $ OS = |CS-0C|=|\frac{2}3{3} CM-OC| < \frac{1}{3}r $, gdyż $ \frac{2}{3} r < \frac{2}{3} CM < \frac{4}{3} r $, a $ OC = r $.

Przyjmijmy, że $ AC < BC $ i niech $ A' $, $ B' $ i $ C' $ będą punktami odpowiednio symetrycznymi do $ A $, $ B $ i $ C $ względem średnicy koła równoległej do $ AB $ (rys. 2). Z założenia, że trójkąt $ ABC $ jest ostrokątny wynika, że punkt $ C $ leży na mniejszym z dwóch łuków o końcach $ A' $ i $ B' $, więc $ CC' > AA' $. Prosta poprowadzona przez punkt $ S $ równolegle do $ CC' $ przecina odcinki $ OC $ i $ OC' $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ D' $.

Trójkąty $ ODD' $ i $ OCC' $ są jednokładne w stosunku $ 1 \colon 3 $, a trójkąty $ CSD $ i $ CMO $ - jednokładne w stosunku $ 2 \colon 3 $, zachodzą więc równości:

\[<br />
\frac{DD'}{CC'} = \frac{OD}{OC} = \frac{SM}{CM} = \frac{1}{3}, \textrm{ skąd } \frac{DD'} = \frac{1}{3} CC' > \frac{1}{3} AA',<br />
\]

oraz

\[<br />
\frac{DS}{OM} = \frac{CS}{CM} = \frac{2}{3}, \textrm{ skąd } DS= \frac{2}{3} OM= \frac{1}{3} AA',<br />
\]

zatem

\[<br />
DS<DD',<br />
\]

skąd wynika, że punkt $ S $ leży między punktami $ D $ i $ D' $.

Otóż $ OD=OD'=\frac{1}{3} OC $, tzn. punkty $ D $ i $ D' $ leżą na okręgu o środku $ O $ i promieniu $ \frac{1}{3} r $, wobec czego punkt $ S $ leży wewnątrz tego okręgu.

Uzyskaliśmy wynik: Miejscem geometrycznym środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg jest wnętrze okręgu o tym samym środku, a trzy razy mniejszym promieniu.

Uwaga. Łatwo zauważyć, że miejscem geometrycznym środków ciężkości trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg $ O(r) $*) jest okrąg $ O \left( \frac{1}{3}r \right) $. Stąd i z twierdzenia udowodnionego wynika twierdzenie: M. g. środków ciężkości trójkątów rozwartokątnych wpisanych w $ O(r) $ jest wnętrze pierścienia kołowego ograniczonego okręgami $ O(r) $ i $ O\left( \frac{1}{3}r \right) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź