XVII OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest okrąg i punkt $ M $. Znaleźć na okręgu takie punkty $ A $ i $ B $, żeby odcinek $ AB $ miał daną długość $ d $, a kąt $ AMB $ był równy danemu kątowi $ \alpha $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $ A $ i $ B $ są punktami danego okręgu spełniającymi warunki $ AB = d $, $ \measuredangle AMB = \alpha $ (rys. 5).

Obierzmy w danym okręgu dowolną cięciwę $ CD $ o długości $ d $. Obróćmy trójkąt $ AMB $ dokoła środka $ O $ danego okręgu o kąt $ HOK $, gdzie $ H $ i $ K $ oznaczają środki cięciw $ AB $ i $ CD $. Po obrocie punkt $ A $ znajdzie się w punkcie $ C $, a punkt $ B $ w punkcie $ D $ lub na odwrót; punkt $ M $ przejdzie na pewien punkt $ N $. Punkt $ N $ a) leży na okręgu o środku $ O $ i promieniu $ OM $, b) leży na takim łuku okręgu, którego końcami są punkty $ C $ i $ D $ i który mieści kąt wpisany $ \alpha $. Odwrotnie, jeżeli wyznaczymy punkt $ N $ spełniający powyższe warunki a) i b), to obracając trójkąt $ CND $ dokoła $ O $ o kąt $ NOM $ otrzymamy trójkąt $ AMB $, którego podstawa jest żądanym odcinkiem. Ponieważ są dwa łuki o końcach $ C $, $ D $ mieszczące kąt wpisany $ \alpha $, więc zależnie od długości odcinka $ OM $ liczba rozwiązań będzie równa $ 4 $, $ 3 $, $ 2 $, $ 1 $ lub $ 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź