XVII OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $ p $ i $ q $. Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $ 4p $, a pole powierzchni równa się $ 2q $, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $ p^2 \geq 3q $.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że żądany prostopadłościan istnieje. Istnieją zatem liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równania

\[<br />
(1) \qquad  x+y+z = p,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  xy+yz+zx=q.<br />
\]

W takim razie liczby $ p $ i $ q $ spełniają nierówność $ p^2 \geq 3q $, gdyż z (1) i (2) wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
p^2-3q &= (x+y+z)^2-3(xy + yz + zx) =\\<br />
&= x^2+y^2+z^2- xy-yz-zx=\\<br />
&=\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ] \geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

b) Przypuśćmy, że dane liczby dodatnie $ p $ i $ q $ spełniają nierówność $ p^2 \geq 3q. $

Wykażemy, że istnieją wówczas liczby dodatnie $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równania (1) i (2). Jeżeli $ \sigma $ oznacza liczbę dodatnią mniejszą od $ \frac{p}{3} $, to liczby określone wzorami

\[<br />
(3) \qquad  x= \frac{p}{3} -\sigma,      y=\frac{p}{3}-\sigma,     z=\frac{p}{3} + 2\sigma<br />
\]

są dodatnie i spełniają równanie (1). Z równości (3) wynika, że

\[<br />
xy + yz + zx= \frac{p^2}{3} - 3\sigma^2.<br />
\]

Biorąc $ \sigma = \frac{1}{3} \sqrt{p^2-3q} $ stwierdzamy, że $ 0 < \sigma < \frac{p}{3} $ i że

\[<br />
xy + yz + zx=q.<br />
\]

Wyznaczone w powyższy sposób liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają zatem także równanie (2), więc prostopadłościan o krawędziach $ x $, $ y $, $ z $ ma żądane własności.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź