XVII OM - I - Zadanie 6

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli współczynniki $ a, b, c, d $ równania stopnia trzeciego $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ są liczbami całkowitymi, przy czym liczba $ ad $ jest nieparzysta, a liczba $ bc $ - parzysta, to równanie nie może mieć trzech pierwiastków wymiernych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dane równanie ma trzy pierwiastki wymierne $ x_1, x_2, x_3 $. Przekształćmy równanie wprowadzając zamiast $ x $ nową niewiadomą $ y = ax $, tzn. podstawiając do równania $ \frac{y}{a} $ na miejsce $ x $.

Otrzymujemy równanie

\[<br />
(1) \qquad  y^2 + by^2 + acy + a^2d = 0,<br />
\]

którego pierwiastkami są liczby $ y_1 = a_1x $, $ y_2 = ax_2 $, $ y_3 = ax_3 $. Liczby te, jako iloczyny liczb wymiernych $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ przez liczbę całkowitą $ a $, są wymierne. Ponieważ w równaniu (1) współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej, tj. przy $ y^3 $, jest równy $ 1 $, więc na mocy znanego twierdzenia wymierne pierwiastki tego równania, czyli $ y_1 $, $ y_2 $,$ y_3 $, są liczbami całkowitymi.

Według wzorów Viete'a

\[<br />
(2) \qquad  y_1 + y_2 + y_3 = -b,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1 = ac,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  y_1y_2y_3 = -a^2d.<br />
\]

Z założenia, że iloczyn $ ad $ liczb całkowitych $ a $ i $ d $ jest liczbą nieparzystą wynika, że $ a $ i $ d $, zatem również $ a^2d $ są liczbami nieparzystymi, skąd wobec równania (4) wnioskujemy, że $ y_1 $, $ y_2 $, $ y_3 $ są nieparzyste. W takim razie ze wzorów (2) i (3) wynika, że liczby $ b $ i $ ac $ są nieparzyste, wobec czego iloczyn $ abc $ jest liczbą nieparzystą. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że liczba $ bc $ jest parzysta. Przypuszczenie, że dane równanie ma trzy pierwiastki wymierne, jest więc fałszywe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź