XVII OM - I - Zadanie 7

W dany trójkąt wpisano dwa trójkąty w taki sposób, że wierzchołki jednego z nich są symetryczne do wierzchołków drugiego względem środków boków danego trójkąta. Udowodnić, że pola tych trójkątów są równe.

Rozwiązanie

Pole trójkąta o wierzchołkach $ K $, $ L $, $ M $ będziemy oznaczali krótko symbolem $ (KLM) $.

Niech $ (M_1,M_2) $, $ (N_1,N_2) $, $ (P_1, P_2) $ będą parami punktów leżących odpowiednio na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ i symetrycznych względem środków tych boków (rys. 6).

Zadanie sprowadza się do wykazania, że sumy

\[<br />
S_1 = (AP_1N_1)+(BM_1P_1) + (CN_1M_1)<br />
\]
\[<br />
S_2 = (AP_2N_2)+(BM_2P_2) + (CN_2M_2)<br />
\]

są równe.

Według założenia $ AP_1 = P_2B $, $ AN_1 = N_2C $, więc

\[<br />
AP_1 + AP_2 = AB, \quad AN_1 + AN_2 = AC.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
2(AP_1N_1) & = AP_1 \cdot AN_1 \sin A = (AB-AP_2) (AC-AN_2) \sin A = \\<br />
& = (AB \cdot AC - AB \cdot AN_2 - AC \cdot AP_2 + AP_2 \cdot AN_2) \sin A.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
(1) \qquad  (AP_1N_1) = (ABC)-(ABN_2)-(CAP_2) + (AP_2N_2).<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
(2) \qquad  (BM_1P_1)=(ABC) -(ABM_2)- (BCP_2)+(BM_2P_2),<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  (CM_1N_1)=(ABC)-(BCN_2)-(CAM_2)+(CN_2M_2).<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
(4) \qquad  (ABM_2)+(CAM_2)=(BCN_2)+(ABN_2)=(CAP_2+BCP_2) = (ABC).<br />
\]

Dodając równości (1), (2), (i) stronami i uwzględniając (4) otrzymujemy

\[<br />
S_1 = S_2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź