XVII OM - I - Zadanie 8

W przestrzeni dane są trzy proste. Znaleźć prostą przecinającą je w takich punktach $ A, B, C $, że $ \frac{AB}{BC} $ równa się danej liczbie dodatniej $ k $.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw przypadek, gdy dane trzy proste są parami skośne, a przy tym nie leżą w trzech płaszczyznach wzajemnie równoległych.

Oznaczmy dane proste literami $ a $, $ b $, $ c $ i niech $ l $ będzie prostą przecinającą je odpowiednio w takich punktach $ A $, $ B $, $ C $, że $ \frac{AB}{BC}=k $.

Niech $ \alpha $ i $ \gamma $ będą płaszczyznami równoległymi przechodzącymi odpowiednio przez proste $ a $ i $ c $; wiadomo, że taka para płaszczyzn istnieje i to tylko jedna. Zauważmy, że punkt $ B $ jest takim punktem prostej $ b $, którego odległości od płaszczyzn $ \alpha $ i $ \gamma $ są w stosunku $ \frac{AB}{BC}=k $ i że $ l $ jest prostą przecięcia płaszczyzn przechodzących przez punkt $ B $ i zawierających proste $ a $ i $ c $.

Z powyższej analizy wysnuwamy następującą konstrukcję (rys. 7)

Oznaczywszy dane proste w dowolny sposób literami $ a $, $ b $, $ c $ prowadzimy płaszczyzny równoległe $ \alpha $ i $ \gamma $ przechodzące odpowiednio przez proste $ a $ i $ c $*). Prowadzimy następnie taką płaszczyznę $ \beta $ równoległą do $ \alpha $ i $ \gamma $, której odległości od płaszczyzn $ \alpha $ i $ \gamma $ są w stosunku $ k $.

Płaszczyzna $ \beta $ przecina prostą $ b $ w pewnym punkcie $ B $, gdyż według założenia prosta $ b $ nie leży w płaszczyźnie równoległej do $ \alpha $ i $ \gamma $. Przez punkt $ B $ prowadzimy płaszczyzny $ \alpha_1 $ i $ \gamma_1 $ zawierające odpowiednio proste $ a $ i $ c $; przecinają się one według prostej, którą oznaczymy literą $ l $. Prosta $ l $ przecina proste $ a $ i $ c $ odpowiednio w pewnych punktach $ A $ i $ C $; gdyby bowiem była do którejś z nich równoległa, to leżałaby w płaszczyźnie $ \beta $, więc byłaby równoległa i do drugiej, wbrew założeniu, że $ a $ i $ c $ są skośne. Ponieważ odcinki $ AB $ i $ BC $ są proporcjonalne do odległości punktu $ B $ od płaszczyzn $ \alpha $ i $ \gamma $, więc $ \frac{AB}{BC} = k $, tzn. trójka punktów $ A $, $ B $, $ C $ jest rozwiązaniem zadania.

Konstrukcja jest zawsze wykonalna. Gdy $ k \ne 1 $, płaszczyzna $ \beta $ może mieć jedno z dwóch położeń: w warstwie między płaszczyznami $ \alpha $ i $ \gamma $ lub na zewnątrz tej warstwy. Przy obranym oznaczeniu danych prostych istnieją zatem dwa rozwiązania. Ponieważ mamy $ 6 $ sposobów oznaczenia danych prostych literami $ a $, $ b $, $ c $, więc zadanie ma $ 12 $ rozwiązań. Należy jednak zauważyć, że są takie wartości stosunku $ k $, przy których pewne z tych rozwiązań są jednakowe w tym znaczeniu, że składają się z tych samych punktów tylko inaczej nazwanych. Łatwo sprawdzić, że zachodzi to w przypadku tak zwanego złotego podziału odcinka. Mianowicie, gdy $ k= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ i trójka punktów $ A $, $ B $, $ C $ jest rozwiązaniem zadania, wtedy $ \frac{AB}{BC}= \frac{BC}{AC} $ lub $ \frac{AB}{BC}= \frac{AC}{AB} $ zależnie od tego, czy punkt $ B $, czy też punkt $ A $ leży między dwoma pozostałymi. W pierwszym przypadku z rozwiązania $ A $, $ B $, $ C $ otrzymujemy inne rozwiązanie oznaczając te punkty literami $ C $, $ A $, $ B $, w drugim przypadku przemianowujemy je na $ B $, $ C $, $ A $. Podobnie gdy $ k=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $, wtedy z rozwiązania $ A $, $ B $, $ C $ otrzymujemy inne rozwiązanie zmieniając nazwy punktów na $ B $, $ C $, $ A $, gdy $ B $ leży między $ A $ i $ C $, a na $ C $, $ A $, $ B $, gdy $ C $ leży między $ A $ i $ B $. W pierwszym przypadku jest bowiem $ \frac{AB}{BC}= \frac{AC}{AB} $, w drugim zaś $ \frac{AB}{BC}= \frac{BC}{AC} $. W każdym z tych dwóch przypadków wśród $ 12 $ rozwiązań jest tylko $ 6 $ różnych trójek punktów.

Gdy $ k=1 $, rozwiązań jest $ 6 $, ale przedstawiają one tylko $ 3 $ różne trójki punktów. Mianowicie z każdego rozwiązania $ A $, $ B $, $ C $ otrzymuje się inne rozwiązanie zmieniając nazwy punktów na $ C $, $ B $, $ A $.

Dla innych przypadków wzajemnego położenia danych prostych rozwiązanie zadania jest bardzo łatwe; ograniczymy się do krótkich objaśnień proponując czytelnikowi szczegółowe uzasadnienie podanych twierdzeń.

Gdy dane proste są parami skośne i leżą w trzech płaszczyznach równoległych, zadanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy odległości jednej z tych płaszczyzn od dwóch pozostałych są w stosunku $ k $; rozwiązań jest wówczas nieskończenie wiele.

Gdy dwie dane proste - nazwijmy je $ m $ i $ n $ - leżą w jednej płaszczyźnie, a trzecia prosta $ p $ jest do każdej z nich skośna, rozwiązanie może istnieć tylko wtedy, gdy $ p $ przecina płaszczyznę prostych $ m $ i $ n $ w pewnym punkcie $ P $. Jeżeli proste $ m $ i $ n $ przecinają się i $ k \ne 1 $, rozwiązań jest $ 12 $, przy czym dla $ k = \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ oraz dla $ k = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ rozwiązania te tworzą tylko $ 6 $ różnych trójek punktów; jeżeli zaś $ k=1 $, rozwiązań jest $ 6 $, a wśród nich tylko trzy są rożnymi trójkami punktów. Jeżeli proste $ m $ i $ n $ są równoległe, rozwiązania istnieją tylko wówczas, gdy stosunek dwóch spośród liczb $ \lambda $, $ \mu $, $ \nu $, gdzie $ \lambda $ jest odległością prostych $ m $ i $ n $, a $ \mu $ i $ \nu $ - odległościami punktu $ P $ od $ m $ i $ n $, równa się liczbie $ k $; jeśli taki przypadek zachodzi, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Gdy para danych prostych leży w jednej płaszczyźnie, a inna para w innej płaszczyźnie, rozwiązań nie ma.

Gdy wszystkie trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie, ale nie są parami równoległe, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Gdy wreszcie dane proste leżą w jednej płaszczyźnie i są parami równoległe, rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy odległości jednej z tych prostych od dwóch pozostałych są w stosunku $ k $; gdy ten przypadek zachodzi, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź