XVII OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

\[<br />
(1) \qquad x+y+z=xyz.<br />
\]

Rozwiązanie

Wystarczy wyznaczyć takie rozwiązania równania (1) w liczbach naturalnych, że

\[<br />
(2) \qquad  x \leq y \leq z.<br />
\]

Wszystkie pozostałe rozwiązania znajdziemy wówczas tworząc permutacje znalezionych wartości $ x $, $ y $, $ z $.

\spos{1} Przypuśćmy, że liczby naturalne $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie (1) i warunek (2). Wówczas

\[<br />
x+y+z \leq 3z,\textrm{ zatem }   xyz \leq 3z,\textrm{ stąd } xy \leq 3 \textrm{ i } x^2 \leq 3,<br />
\]

wobec czego $ x = 1 $; z równości (1) otrzymujemy

\[<br />
1 + y+z = yz,\textrm{ stąd } yz-y-z+1 = 2,\textrm{ więc } (y- 1)(z-1) = 2,<br />
\]

skąd wnioskujemy, że $ y=2 $, $ z = 3 $.

Trójka liczb $ (1, 2, 3) $ jest rozwiązaniem zadania. Pozostałymi rozwiązaniami są trójki $ (1, 3, 2) $, $ (2, 1, 3) $, $ (2, 3, 1) $, $ (3, 1, 2) $, $ (3, 2, 1) $.

Uwaga. Zadanie można uogólnić pytając o wszystkie rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych.

Zauważmy najpierw, że równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych, w których jedna z niewiadomych otrzymuje wartość zero; dwie pozostałe są wtedy liczbami przeciwnymi, np. $ x=0 $, $ y=-z $ - dowolna liczba całkowita.

Trzeba zatem wyznaczyć jeszcze tylko te rozwiązania całkowite równania (1), w których wartości niewiadomych są różne od zera, a przynajmniej jedna z nich jest ujemna.

Niech $ (x, y, z) $ będzie takim rozwiązaniem; wówczas $ ( - x, -y, -z) $ też jest rozwiązaniem równania (1). Rozróżniamy następujące przypadki.

a) Tylko jedna z liczb $ x $, $ y $, $ z $ jest ujemna; niech np. $ x<0 $, $ y>0 $, $ z>0 $; równość (1) możemy napisać w postaci

\[<br />
(1a) \qquad y+z=x(yz-1).<br />
\]

Równość (1a) zachodzić jednak nie może, gdyż lewa jej strona jest liczbą dodatnią, prawa zaś, jako iloczyn liczby ujemnej przez nieujemną (gdyż $ yz \geq 1 $), nie jest liczbą dodatnią. Równanie (1) nie ma zatem rozwiązań typu a).

b) Dwie spośród liczb $ x $, $ y $, $ z $ są ujemne, a trzecia jest dodatnia, np. $ x>0 $, $ y<0 $, $ z<0 $; wówczas $ -x<0 $, $ -y>0 $, $ - z>0 $, tzn. równanie (1) ma rozwiązanie typu a), co jest niemożliwe. Przypadek b) zachodzić nie może.

c) $ x < 0 $, $ y < 0 $, $ z < 0 $; wówczas trójka liczb $ (-x, -y, -z) $ jest rozwiązaniem równania (1) w liczbach naturalnych, więc składa się z liczb $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $. Rozwiązaniem typu c) równania (1) jest więc trójka liczb $ (-1, -2, -3) $ oraz jej permutacje.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź