XVII OM - I - Zadanie 10

Zadanie 10.
Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $ spełniają, nierówności

\[<br />
(1) \quad a+b+c>0    \quad \text{ i } \quad   (2) \quad abc>0,<br />
\]

to dla każdego naturalnego $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
(3) \qquad a^n + b^n + c^n > 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Z założenia (2) wynika, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są albo wszystkie dodatnie, albo jedna jest dodatnia, a dwie są ujemne. W pierwszym przypadku teza (3) jest oczywista, wystarczy więc przeprowadzić dowód zakładając, że np. $ a>0 $, $ b<0 $, $ c<0 $, ograniczając się przy tym do nieparzystych wartości $ n $, gdyż dla $ n $ parzystego nierówność (3) jest oczywiście prawdziwa.

Twierdzenie można udowodnić bez stosowania indukcji, powołując się za to na wzór dwumianowy Newtona.

Niech $ -b=b_1 $, $ -c=c_1 $, zatem $ b_1>0 $, $ c_1>0 $. Z założenia (1) wynika, że $ a> - b-c $, czyli

\[<br />
a>b_1+c_1.<br />
\]

Stąd dla dowolnego naturalnego $ n $

\[<br />
a^n > (b_1 + c_1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_1^{n-k} c_1^k =<br />
b_1^n + c_1^n + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} b_1^{n-k} c_1^{n-k},<br />
\]

więc

\[<br />
a^n > b_1^n + c_1^n = (-b)^n + (-c)^n;<br />
\]

dla nieparzystego $ n $ otrzymujemy stąd

\[<br />
a^n+b^n+c^n > 0, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź