XVII OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że środki kół dopisanych trójkąta i punkty symetryczne do środka koła wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Niech $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ będą punktami symetrycznymi do środka $ O $ koła wpisanego w trójkąt $ ABC $ odpowiednio względem wierzchołków $ A $, $ B $, $ C $, a $ S_1 $ środkiem koła dopisanego trójkąta $ ABC $, które jest styczne do boku $ BC $ (rys. 8). Dla dowodu twierdzenia wystarczy stwierdzić, że punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ i $ S_1 $ leżą na jednym okręgu. Ponieważ $ C_1 $ i $ S_1 $ leżą po jednej stronie prostej $ A_1B_1 $, mianowicie po tej samej stronie prostej $ A_1B_1 $ co trójkąt $ ABC $, więc sprowadza się to do wykazania, że $ \measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle A_1C_1B_1 $. Zauważmy, że

a) Trójkąty $ A_1B_1C_1 $ i $ ABC $ są jednokładne względem punktu $ O $, więc

\[<br />
\measuredangle A_1C_1B_1= \measuredangle ACB=2 \measuredangle OCB.<br />
\]

b) Proste $ BS_1 $ i $ CS_1 $ jako dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta $ ABC $ są prostopadłe do dwusiecznych $ OB $ i $ OC $ odpowiednich kątów tego trójkąta; punkty $ B $, $ O $, $ C $, $ S_1 $ jako wierzchołki czworokąta o dwóch kątach prostych leżą na jednym okręgu, przy czym punkty $ C $ i $ S_1 $ leżą po tej samej stronie prostej $ OB $, zatem

\[<br />
\measuredangle OCB=\measuredangle OS_1B.<br />
\]

c) Prosta $ BS_1 $ jest symetralną odcinka $ OB_1 $, więc

\[<br />
\measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle OS_1B_1=2 \measuredangle OS_1B.<br />
\]

Z a), b) , c) wynika, że

\[<br />
\measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle A_1C_1B_1,\textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Uwaga. Twierdzenie, które udowodniliśmy, jest równoważne twierdzeniu:

Punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ S_1S_2S_3 $ względem boków tego trójkąta leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ S_1S_2S_3 $ *).

Aby tego dowieść, wystarczy zauważyć, że jeżeli $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $ są środkami kół dopisanych trójkąta $ ABC $, a $ O $ - środkiem koła wpisanego w trójkąt $ ABC $, to punkt $ O $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ S_1S_2S_3 $, a punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ - symetryczne do $ O $ względem punktów $ A $, $ B $, $ C $ - są zarazem punktami symetrycznymi do $ O $ względem boków trójkąta $ S_1S_2S_3 $. Odwrotnie, jeżeli $ O $ jest punktem przecięcia wysokości danego trójkąta $ S_1S_2S_3 $, a $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ - punktami symetrycznymi do $ O $ względem boków tego trójkąta, to są one jednocześnie punktami symetrycznymi do $ O $ względem wierzchołków $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta ,,spodkowego'' dla trójkąta $ S_1S_2S_3 $, a $ O $ jest środkiem koła wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź