XVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego jest równa $ 180^{\circ} $, to w tym ostrosłupie środek kuli opisanej pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia: $ AB $ - krawędź podstawy danego ostrosłupa prawidłowego, $ S $ - jego wierzchołek, $ H $ - rzut punktu $ S $ na podstawę, $ O $ - środek kuli opisanej na ostrosłupie, $ M $ - środek okręgu opisanego na trójkącie $ ASB $ (rys. 9).

Dla dowodu twierdzenia wystarczy stwierdzić, że odległość $ OM $ punktu $ O $ od ściany bocznej $ ASB $ jest równa odległości $ OH $ punktu $ O $ od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Według założenia $ \measuredangle ASB = \frac{180^\circ}{n} $ gdzie $ n $ oznacza liczbę krawędzi podstawy, a $ \measuredangle AHB = \frac{360^\circ}{n} $, zatem $ \measuredangle AHB = 2 \measuredangle ASB $.

W okręgu opisanym na trójkącie $ ASB $ kąt $ AMB $ jest kątem środkowym, więc $ \measuredangle AMB = 2 \measuredangle ASB $, wobec czego $ \measuredangle AHB = \measuredangle AMB $. Trójkąty równoramienne $ AHB $ i $ AMB $ są zatem przystające, $ AH = AM $. Z równości $ OS = AO $ i $ MS = AM = AH $ wynika przystawanie trójkątów prostokątnych $ OSM $ i $ AOH $, skąd $ OM = OH $, c.n.d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź