XVII OM - II - Zadanie 3

Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej i wykreślono wszystkie odcinki łączące parami te punkty. Niektóre z odcinków wykreślono przy tym kolorem czerwonym, a inne niebieskim. Dowieść, że któreś trzy z danych punktów są wierzchołkami trójkąta o bokach jednego koloru.

Rozwiązanie

Niech $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $, $ A_5 $, $ A_6 $ będą danymi punktami. Wśród pięciu odcinków $ A_1A_i $ ($ i = 2, 3, 4, 5, 6 $) co najmniej trzy są jednego koloru. Przypuśćmy na przykład, że odcinki $ A_1A_2 $, $ A_1A_3 $, $ A_1A_4 $ są czerwone i weźmy pod uwagę odcinki $ A_2A_3 $, $ A_3A_4 $, $ A_4A_2 $. Jeżeli te odcinki są wszystkie trzy niebieskie, mamy trójkąt $ A_2A_3A_4 $ jednego koloru. Jeśli zaś któryś z tych odcinków, np. $ A_2A_3 $ jest czerwony, to trójkąt $ A_1A_2A_3 $ jest jednego koloru.

Dla mniejszej liczby danych punktów teza twierdzenia nie jest prawdziwa. Na przykład w pięciokącie wypukłym, którego wszystkie boki są czerwone, a wszystkie przekątne - niebieskie, każde trzy wierzchołki kolejne tworzą trójkąt o dwóch bokach czerwonych a jednym niebieskim, każde zaś trzy wierzchołki niekolejne tworzą trójkąt, którego dwa boki są niebieskie, a trzeci jest czerwony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź