XVII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $ i $ b $ spełniają równanie $ a^2+a = 3b^2 $, to liczba $ a+1 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Niech równość $ b = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}  \ldots p_s^{\alpha_s} $ przedstawia rozkład liczby $ b $ na czynniki pierwsze. Według założenia zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad  a(a+1)= 3 p_1^{2\alpha_1} p_2^{2\alpha_2}  \ldots p_s^{2\alpha_s}.<br />
\]

Liczby $ a $ i $ a+1 $ są względnie pierwsze, gdyż każdy wspólny dzielnik tych liczb jest dzielnikiem liczby $ (a+1)-a=1 $. Wobec tego każdy z czynników $ 3, p_1^{\alpha_1}, p_2^{\alpha_2},  \ldots, p_s^{\alpha_s} $ prawej strony równości (1) jest dzielnikiem jednej i tylko jednej z liczb $ a $ i $ a+1 $. Zachodzi więc jeden z przypadków:

\[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
\alpha) &    a=p^2,  &       a+1 = 3q^2,\\<br />
\beta)  &    a=3p^2, &       a+1 = q^2,<br />
\end{array}<br />
\]

gdzie $ p $ i $ q $ oznaczają liczby naturalne spełniające równanie $ p^2q^2=b^2 $.

W przypadku $ \alpha $) byłoby $ 3q^2-p^2=1 $, więc $ p^2 \equiv 2 (\bmod 3 $), co jest niemożliwe, gdyż kwadrat liczby naturalnej daje w dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 0 $ lub $ 1 $.

Zachodzi więc przypadek $ \beta $), tzn. $ a+1 $ jest kwadratem liczby całkowitej, c.n.d.

Uwaga. Z udowodnionego wyżej twierdzenia wynika, że jeżeli liczby naturalne $ a $ i $ b $ spełniają równanie $ a^2-a=3b^2 $, to $ a $ jest kwadratem liczby całkowitej. Albowiem $ a^2-a = a_1^2 + a_1 $ gdzie $ a_1=a- 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź