XVII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że suma kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta na prostą $ p $ płaszczyzny tego trójkąta wtedy i tylko wtedy nie zależy od położenia prostej $ p $, gdy trójkąt jest równoboczny.

Rozwiązanie

Niech $ S $ oznacza sumę kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta równobocznego $ ABC $ o długości boku $ a $ na prostą $ p $ leżącą w płaszczyźnie trójkąta. Ponieważ rzuty odcinka na proste równoległe są równe, więc dla obliczenia $ S $ możemy przyjąć, że prosta $ p $ przechodzi przez jeden z wierzchołków trójkąta, np. $ A $ i ma punkt wspólny $ D $ z bokiem przeciwległym, tj. z $ BC $ (rys. 11). Niech $ \measuredangle BAD= \delta $, wówczas $ \measuredangle CAD = 60^\circ- \delta $, a $ \measuredangle ADC=60^\circ + \delta $.

Rzuty boków $ AB $, $ BC $, $ AC $ na prostą $ p $ są odpowiednio równe $ a \cos \delta $, $ a \cos (60^\circ-\delta) $, $ a |\cos(60^\circ+\delta)| $, zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
S &= a^2 [\cos^2 \delta + \cos^2 (60^\circ - \delta)+ \cos^2 (60^\circ + \delta)] =\\<br />
&= a^2[\cos^2 \delta+2 \cos^2 60^\circ \cos^2 \delta +2 \sin^2 60^\circ \sin^2 \delta],<br />
\end{split}<br />
\]

a ponieważ $ \cos 60^\circ= \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ= \frac{1}{2} \sqrt{3} $, więc

\[<br />
S = \frac{3}{2} a^2.<br />
\]

Okazało się, że wartość $ S $ nie zależy od $ \delta $, a tym samym od położenia prostej $ p $.

Załóżmy z kolei, że dany trójkąt $ ABC $ nie jest równoboczny.

Niech np. $ AC>BC $, wówczas $ h_A>h_B $, gdzie $ h_A=AD $, $ h_B=BE $ (rys. 12) są wysokościami trójkąta poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków $ A $ i $ B $.

Oznaczając literami $ S' $ i $ S'' $ sumy kwadratów rzutów boków trójkąta odpowiednio na proste $ AD $ i $ BE $, obliczamy łatwo, że

\[<br />
S'=2h_A^2,\  S''=2h_B^2,\textrm{ wobec czego } S'>S''.<br />
\]

Wykazaliśmy, że jeżeli trójkąt jest nierównoboczny, to suma kwadratów rzutów boków trójkąta na prostą $ p $ leżącą w płaszczyźnie trójkąta, zależy od położenia prostej $ p $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź