XVII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
(1) \qquad x^4 + 4y^4 = 2(z^4+4u^4).<br />
\]

Rozwiązanie

Równanie (1) ma oczywiście rozwiązanie $ (0,0,0,0) $. Wykażemy, że jest to jedyne rozwiązanie tego równania w liczbach całkowitych.

\spos{1} Dowód oprzemy na następującym lemacie:

Jeżeli $ k_1, k_2,\ldots, k_n $ są różnymi liczbami naturalnymi, a $ x_1, x_2,\ldots, x_n $ liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez liczbę naturalną $ c $, to

\[<br />
(2) \qquad  c^{k_1}x_1 + c^{k_2}x_2+ \ldots c^{k_n} x_n \ne 0.<br />
\]

Dowód tej nierówności jest bardzo prosty. Niech najmniejszą z liczb $ k_i $ ($ i = 1,2,\ldots ,n $) będzie na przykład $ k_1 $. Zachodzi równość

\[<br />
c^{k_1}x_1 + c^{k_2} x_2+ \ldots +c^{k_n}x_n=<br />
c^{k_1}(x_1 + c^{k_2-k_1} x_2+ \ldots +c^{k_n-k_1}x_n.<br />
\]

Wyrażenie znajdujące się w nawiasie po prawej stronie tej równości jest sumą, której wszystkie wyrazy oprócz pierwszego są podzielne przez $ c $, gdyż $ k_i-k_1>0 $ dla $ i \ne 1 $, pierwszy zaś wyraz według założenia nie jest podzielny przez $ c $. Suma ta jest wobec tego różna od zera, a że również $ c \ne 0 $, więc zachodzi (2).

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, $ u $ stanowią rozwiązanie równania (1). Istnieją takie liczby naturalne $ k $, $ l $, $ m $, $ n $, że

\[[<br />
x=2^kx_1, \ y=2^ly_1, \ z=2^mz_1,\ u=2^nu_1,<br />
\]

gdzie każda z liczb $ x_1 $, $ y_1 $, $ z_1 $, $ u_1 $ jest liczbą nieparzystą lub zerem.. Po podstawieniu tych wartości do równania (1) możemy równaniu temu nadać postać:

\[<br />
(3) \qquad  2^{4k} x_1^4 + 2^{4l+2} y_1^4 - 2^{4m+1}z_1^4 - 2^{4n+3}u_1^4=0.<br />
\]

Liczby $ 4k $, $ 4l+2 $, $ 4m+1 $, $ 4n+3 $ są różne, gdyż dają różne reszty w dzieleniu przez $ 4 $, zatem $ x_1 = y_1 = z_1 = u_1 = 0 $; gdyby bowiem pewne z tych liczb były różne od zera, to byłyby liczbami nieparzystymi i równość (3) byłaby sprzeczna z poprzednim lematem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź