XVII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że gdy $ k, m, n $, są dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi, to wielomian

\[<br />
P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}<br />
\]

jest podzielny przez wielomian $ x^2 + x + 1 $.

Rozwiązanie

Dla całkowitego nieujemnego $ p $ różnica $ x^{3p}- 1= (x^3)p- 1 $ jest podzielna przez $ x^3- 1 $, a tym samym przez $ x^2+x+1 $. Zatem różnica

\[<br />
P(x) - (x^2+x+1) = x^2(x^{3k}-1) + x(x^{3m}- 1)+x^{3n}-1<br />
\]

jest podzielna przez $ x^2+x+1 $. Stąd wynika, że wielomian $ P(x) $ jest podzielny przez $ x^2+x+1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź