XVII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić, że suma kwadratów pól prostokątnych rzutów ścian prostopadłościanu na jedną płaszczyznę nie zależy od położenia tej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy prostopadłościan jest sześcianem.

Rozwiązanie

Niech $ \delta $ oznacza sumę kwadratów pól prostokątnych rzutów prostopadłościanu na płaszczyznę $ \pi $.

Gdy $ \pi $ jest płaszczyzną jednej ze ścian prostopadłościanu, suma $ \sigma $ równa się podwojonemu kwadratowi pola tej ściany. Jeżeli prostopadłościan nie jest sześcianem, któreś dwie jego ściany mają pola różne, więc przy rzutowaniu na płaszczyzny tych ścian odpowiednie wartości sumy $ \sigma $ są różne.

Dowiedziemy, że dla sześcianu o krawędzi $ a $ wartość $ \sigma $ nie zależy od położenia płaszczyzny $ \pi $, a mianowicie, że przy każdym położeniu tej płaszczyzny $ \sigma = 2a^4 $.

Gdy płaszczyzna $ \pi $ jest równoległa do dwóch przeciwległych ścian sześcianu, teza $ \sigma=2a^4 $ jest oczywista. Założymy, że ten przypadek nie zachodzi. Niech $ ABCD $ będzie jedną ze ścian sześcianu. Rzut prostokątny którejkolwiek ściany sześcianu na płaszczyznę $ \pi $ można otrzymać rzutując najpierw tę ścianę na płaszczyznę $ ABCD $ w kierunku prostopadłym do $ \pi $, a następnie rzutując otrzymany równoległobok w tymże kierunku na płaszczyznę $ \pi $.

Niech $ \alpha $ oznacza kąt nachylenia płaszczyzny $ ABCD $ do płaszczyzny $ \pi $. Pod takim samym kątem krawędź $ AE $ sześcianu jest nachylona do prostopadłej do płaszczyzny $ \pi $ poprowadzonej z punktu $ E $ (rys. 14).

Rzut $ AE' $ odcinka $ AE $ na płaszczyznę $ ABCD $ w kierunku prostopadłym do $ \pi $ ma długość $ a \tg \alpha $. Rzuty ścian $ ABCD $, $ ABFE $ i $ ADHE $ sześcianu schodzących się w wierzchołku $ A $ na płaszczyznę $ ABCD $ mają odpowiednio pola $ a^2 $, $ a^2\tg \alpha \sin \beta $ i $ a^2\tg \alpha \sin \delta $;, gdzie $ \beta $ i $ \delta $ oznaczają kąty, jakie odcinek $ AE' $ tworzy z odcinkami $ AB $ i $ AD $. Pomiędzy $ \beta $ i $ \delta $ zachodzi - zależnie od położenia punktu $ E' $ - jeden ze związków $ \beta + \delta=90^\circ $, $ \beta + \delta=270^\circ $ lub $ |\beta - \delta| = 90^\circ $; w każdym z tych przypadków $ \sin \delta=|\cos \beta| $.

Pola rzutów wymienionych ścian na płaszczyznę $ \pi $ otrzymamy mnożąc podane wyżej wartości przez $ \cos \alpha $:

\[<br />
a^2 \cos \alpha,\ a^2 \sin \alpha \sin \beta, a^2 \sin \alpha \sin \beta.<br />
\]

Pola rzutów trzech pozostałych ścian mają odpowiednio te same wartości. Wobec tego

\[<br />
a = 2a^4[\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha (\sin^2 \beta + \sin^2 \delta)].<br />
\]

Ponieważ $ \sin^2 \beta+\sin^2 \delta=\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $, więc

\[<br />
\sigma = 2a^4, \textrm{ c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź