XVII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby nieujemne $ x_1, x_2,\ldots,x_n $ ($ n $ - dowolna liczba naturalna) spełniają nierówność
$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{1}{2} $, to

\[<br />
(1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_n) \geq \frac{1}{2}<br />
\]

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę indukcji. Dla $ n = 1 $ twierdzenie jest prawdziwe, gdyż jeśli $ x_1 \leq \frac{1}{2} $, to $ 1 - x_1 \geq \frac{1}{2} $. Załóżmy, że jest ono prawdziwe dla pewnego naturalnego $ k $, tzn. że jeśli liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_k $ są nieujemne i $ x_1+x_2+\ldots+x_k \leq \frac{1}{2} $, to $ (1-x_1) (1 - x_2)\ldots (1 - x_k) \geq \frac{1}{2} $.

Niech $ x_1,x_2,\ldots ,x_k,x_{k+1} $ będą liczbami nieujemnymi spełniającymi nierówność $ x_1+x_2+ \ldots + x_k+x_{k+1} \leq \frac{1}{2} $. Napiszemy tę nierówność w postaci $ x_1+x_2+ \ldots +x_k' \leq \frac{1}{2} $, gdzie $ x_k'=x_k+x_{k+1} $, zatem $ x_k' \geq 0 $.

Na mocy założenia indukcyjnego mamy

\[<br />
(1-x_1)(1 - x_2)\ldots (1 - x_k') = (1 - x_1) (1 - x_2)\ldots (1-x_k-x_{k+1}) \geq \frac{1}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ x_kx_{k+1} \geq 0 $, więc $ 1 - x_k- x_{k+1} \leq 1 - x_k- k_{k+1}+x_kx_{k+1}= (1-x_k)(1-x_{k+1}). $

Zatem

\[<br />
(1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_k)(1- x_{k+1}) \geq<br />
(1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_k- x_{k+1}) \geq \frac{1}{2},<br />
\]

skąd na podstawie zasady indukcji wynika, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga 1. W podobny sposób można udowodnić twierdzenia:

a) Jeżeli liczby $ x_1,x_2,\ldots, x_n $ są nieujemne i $ x_1+ x_2+ \ldots x_n < \frac{1}{2} $ to $ (1-x_1) (1-x_2)\ldots (1-x_n)> \frac{1}{2} $;

b) Jeżeli liczby $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ są dodatnie, $ x_1+x_2+ \ldots +x_n \leq \frac{1}{2} $ i $ n \geq 2 $, to $ (1-x_1)(1-x_2)+ \ldots (1-x_n)> \frac{1}{2} $.

Dokładne uzasadnienie tych twierdzeń proponujemy jako ćwiczenie.

Uwaga 2. Prawdziwe jest następujące uogólnienie dowiedzionego wyżej twierdzenia:

Jeżeli liczby $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ spełniają nierówności $ 0 \leq x_i \leq 1 $ ($ i = 1,2,\ldots ,n $), to

\[<br />
(1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_n) \geq 1 - (x_1+x_2+ \ldots +x_n).<br />
\]

Łatwo to udowodnić metodą indukcji. Można też nie stosować indukcji, i rozumować, jak następuje.

Niech

\[<br />
(1-x_1)(1-x_2)\ldots (1-x_r) = P_r  \ (r= 1,2, \ldots,n).<br />
\]

Wówczas

\[<br />
P_{i+1}= (1-x_{i+1})P_i=P_i-x_{i+1}P_i \ (i =1,2,\ldots ,n-1),<br />
\]

zatem

\[<br />
P_{i+1} \geq P_i - x_{i+1},<br />
\]

gdyż $ x_{i+1} \geq 0 $, a $ P_i \leq 1 $. Dodając te nierówności stronami dla $ i=1,2,\ldots ,n-1 $ wraz z równością $ P_1=1-x_1 $, otrzymujemy po redukcji

\[<br />
P_n \geq 1 - (x_1+x_2+ \ldots +x_n).<br />
\]

Uwaga 3. Sposób, w jaki przeprowadziliśmy wyżej dowód indukcyjny, można zastosować w wielu przypadkach. W szczególności uzyskuje się na tej drodze bardzo prosty dowód twierdzenia Cauchy o średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej, tj. twierdzenia

(1) Jeśli $ a_1, a_2,\ldots ,a_n > 0  $, to

\[<br />
\frac{a_1+a_2+ \ldots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 \ldots a_n},<br />
\]

przy czym równość obu stron tej nierówności ma miejsce tylko wtedy, gdy $ a_1 = a_2= \ldots = a_n $.

W tym celu stwierdzamy najpierw, że twierdzenie (1) jest równoważne twierdzeniu:

(2) Jeśli $ x_1,x_2,\ldots,x_n>0 $ i $ x_1x_2\ldots x_n= 1 $, to

\[<br />
x_1+x_2+ \ldots +x_n \geq n,<br />
\]

przy czym równość obu stron tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy $ x_i = 1 $ dla każdego $ i $.

Istotnie, twierdzenie (2) jest oczywistym wnioskiem z (1), odwrotnie zaś sprowadzamy (1) do (2) biorąc

\[<br />
x_i = \frac{a_i}{\sqrt[n]{a_1a_2 \ldots a_n}}.<br />
\]

Dowód twierdzenia (2) przeprowadzimy, jak następuje:

Dla $ n=1 $, twierdzenie jest prawdziwe. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla pewnego naturalnego $ n $ i niech liczby nieujemne $ x_1, x_2,\ldots, x_n, x_{n+1} $ spełniają warunek

\[<br />
(3) \qquad  x_1 x_2\ldots x_n x_{n+1} =   1.<br />
\]

Jeżeli $ x_i = 1 $ dla $ i = 1,2,\ldots ,n+1 $, to $ x_1+x_2+ \ldots + x_n+x_{n+1}= n+1 $. Jeżeli nie wszystkie $ x_i $ są równe $ 1 $, to wobec równości (3) są wśród nich zarówno liczby mniejsze, jak większe od $ 1 $; możemy np. przyjąć, że $ x_n<1 $, a $ x_{n+1}>1 $. Niech $ x_nx_{n+1}=x_n' $, wówczas $ x_n' \geq 0 $ i $ x_1x_2 \ldots x_n' = 1 $, więc na mocy założenia indukcyjnego

\[<br />
x_1+x_2+ \ldots +x_n' \geq n.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
x_1 + x_2+ \ldots +x_n+x_{n+1}&=<br />
x_1+x_2+ \ldots +x_n' + x_n + x_{n+1} - x_nx_{n+1} \geq\\<br />
&\geq<br />
n+1 + (x_{n+1}-1)(1-x_n) > n+1,<br />
\end{split}<br />
\]

gdyż $ (x_{n+1}-1)(1-x_n)>0 $. Zatem w każdym przypadku $ x_1+x_2+\ldots+x_n+x_{n+1} \geq n+1 $, przy czym obie strony tej nierówności są równe tylko wtedy, gdy $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = x_{n+1} $. Twierdzenie Cauchy'ego zostało udowodnione.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź