XVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym każda z przekątnych $ AD, BE, CF $ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

Rozwiązanie

\spos{1} Pole wielokąta $ ABC\ldots $ oznaczać będziemy symbolem $ (ABC\ldots) $. Według założenia (rys. 15)

\[<br />
(1) \qquad  (ABCD)= \frac{1}{2} (ABCDEF) = (BCDE).<br />
\]

Otóż

\[<br />
(2) \qquad       (ABCD) = (ABD)+(DBC),\   (BCDE)=(EBD)+(DBC).<br />
\]

Z (1) i (2) otrzymujemy

\[<br />
(ABD) = (EBD),<br />
\]

skąd wynika, że $ AE \parallel BD $, gdyż wierzchołki $ A $ i $ E $ trójkątów $ ABD $ i $ EDB $ o wspólnym boku $ BD $ leżą po tej samej stronie prostej $ BD $.

Analogicznie $ AC \parallel DF $ i $ CE \parallel BF $. Trójkąty $ ACE $ i $ DFB $ mają boki odpowiednio równoległe, więc według twierdzenia o trójkątach jednokładnych proste $ AD $, $ BE $, $ CF $, zawierające pary odpowiadająych sobie wierzchołków obu trójkątów, przechodzą przez jeden punkt.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź