XVI OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c $

\[<br />
a^2bc + ab^2c + abc^2 \leq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $ bc = u $, $ ca = v $, $ ab = w $. Twierdzenie, które mamy udowodnić, otrzymuje postać prostszą:

\[<br />
vw + uw + uv \leq w^2 + u^2 + v^2<br />
\]

lub

\[<br />
u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - uw \geq 0.<br />
\]

Nierówność powyższa jest prawdziwa, gdyż

\[<br />
 u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - uw = \frac{1}{2} [(u - w)^2 + (v - w)^2 + (w-v)^2].<br />
 \]

Uwaga. Udowodnione twierdzenie ma prostą interpretację geometryczną. Niech $ A $ i $ B $ będą wektorami w przestrzeni trójwymiarowej. Z nierówności $ (A - B)^2 \geq 0 $ wynika, że $ 2AB \leq A^2 + B^2 $. Jeżeli długości $ A $ i $ B $ są równe, tj. gdy $ A^2 = B^2 $, otrzymujemy nierówność

\[<br />
AB \leq A^2.<br />
\]

Wektory $ A = (u, v, w) $ i $ B = (v, w, u) $ mają długości równe, gdyż $ u^2 + v^2 + w^2 = v^2 + w^2 + u^2 $, zatem

\[<br />
uv + uw + vw \leq u^2 + v^2 + w^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź