XVI OM - I - Zadanie 2

Przez środek ciężkości $ S $ trójkąta poprowadzono odcinek, którego końce $ M $ i $ N $ leżą na obwodzie trójkąta. Dowieść, że

\[<br />
\frac{1}{2} \leq \frac{MS}{SN} \leq 2.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ M $ leży na boku $ AB $, a punkt $ N $ na boku $ BC $ trójkąta $ ABC $ (Rys. 1). Niech $ C' $, $ S' $, $ N' $ będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów $ C $, $ S $, $ N $ względem prostej $ AB $. Odległość środka ciężkości $ S $ od podstawy $ AB $ trójkąta równa się $ \frac{1}{3} $ odpowiedniej wysokości trójkąta, więc $ SS' = \frac{1}{3} CC' $. Trójkąty $ NMN' $ i $ SMS' $ są jednokładne względem punktu $ M $, zatem

\[<br />
\frac{MN}{MS} = \frac{NN'}{SS'} \leq \frac{CC'}{SS'}=3,<br />
\]

a ponieważ $ MN = MS + SN $, więc z powyższej nierówności wynika, że

\[<br />
\frac{MS}{SN} \geq \frac{1}{2}.<br />
\]

Analogiczna nierówność zachodzi dla każdego odcinka łączącego $ 2 $ punkty obwodu trójkąta i przechodzącego przez $ S $, zatem również

\[<br />
\frac{NS}{SM} \geq \frac{1}{2};<br />
\]

ostatecznie

\[<br />
\frac{1}{2} \leq \frac{MS}{SN} \leq 2.<br />
\]

Uwaga. W przestrzeni zachodzi twierdzenie: Jeżeli przez środek ciężkości S czworościanu przechodzi odcinek, którego końce $ M $ i $ N $ leżą na powierzchni czworościanu, to

\[<br />
\frac{1}{3} \leq \frac{MS}{SN} \leq 3.<br />
\]

Twierdzenie to można udowodnić zupełnie podobnie, jak poprzednie twierdzenie o trójkącie, posługując się symetrią względem płaszczyzny ściany czworościanu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź