XVI OM - I - Zadanie 3

Przez każdą krawędź kąta trójściennego poprowadzono płaszczyznę zawierającą dwusieczną przeciwległego kąta płaskiego. Dowieść, że poprowadzone trzy płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą.

Rozwiązanie

Niech będzie dany kąt trójścienny o wierzchołku $ O $. Odmierzamy na jego krawędziach trzy równe odcinki $ OA = OB = OC $. Weźmy pod uwagę płaszczyznę $ \alpha $ przechodzącą przez krawędź $ OA $ i przez dwusieczną kąta $ BOC $. Ponieważ trójkąt $ BOC $ jest równoramienny, więc dwusieczna kąta $ BOC $ przechodzi przez środek $ M $ boku $ BC $. Płaszczyzna $ \alpha $, na której leżą punkty $ A $ i $ M $ przechodzi przez środkową $ AM $ trójkąta $ ABC $ a tym samym przez środek ciężkości $ S $ tego trójkąta. Stąd wynika, że płaszczyzna $ \alpha $ przechodzi przez prostą $ OS $. W powyższym rozumowaniu płaszczyznę $ \alpha $ można zastąpić płaszczyzną przechodzącą przez inną krawędź kąta trójściennego i przez dwusieczną przeciwległej ściany. Wszystkie te trzy płaszczyzny przechodzą zatem przez prostą $ OS $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź