XVI OM - I - Zadanie 4

Szkoła urządziła trzy wycieczki dla swych 300 uczniów. W każdej wycieczce wzięła udział ta sama liczba uczniów. Każdy uczeń pojechał przynajmniej na jedną wycieczkę, ale połowa uczestników pierwszej, trzecia część uczestników drugiej i czwarta część uczestników trzeciej wycieczki była tylko na jednej wycieczce.
Ilu uczniów pojechało na każdą wycieczkę ? Ilu uczestników pierwszej wycieczki wzięło udział w drugiej a ilu z nich brało nadto udział w trzeciej wycieczce ?

Rozwiązanie

Niech $ x $ oznacza liczbę uczestników każdej wycieczki, a $ y $, $ z $, $ u $, $ w $ niech oznaczają odpowiednio liczby uczniów, którzy pojechali: a) tylko na pierwszą i drugą wycieczkę, b) tylko na pierwszą i trzecią wycieczkę, c) tylko na drugą i trzecią wycieczkę, d) na wszystkie trzy wycieczki.

Liczba wszystkich uczniów równa się sumie: 1) liczby uczestników tylko jednej wycieczki, tj. liczby $ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{13}{12}x $, 2) liczby uczestników tylko dwóch wycieczek oraz 3) liczby uczestników wszystkich trzech wycieczek, zatem

\[<br />
(1) \qquad  \frac{13}{12}x +y+z+u+w=300.<br />
\]

Liczba uczestników pierwszej wycieczki jest sumą liczb: 1) uczniów, którzy pojechali tylko na pierwszą wycieczkę, 2) uczniów, którzy pojechali na pierwszą i drugą lub na pierwszą i trzecią wycieczkę i 3) uczniów, którzy pojechali na wszystkie wycieczki, zatem

\[<br />
(2) \qquad  \frac{x}{2} +y + z + w=x.<br />
\]

Podobnie dla liczby uczestników drugiej i trzeciej wycieczki otrzymujemy równania

\[<br />
(3) \qquad  \frac{x}{3} +y + u + w=x,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  \frac{x}{4} +z + u + w=x.<br />
\]

Mamy znaleźć rozwiązania całkowite nieujemne układu równań (1) - (4). Przypuśćmy, że takim rozwiązaniem jest układ liczb $ x $, $ y $, $ z $, $ u $, $ w $. Z równania (1) wynika, że $ \frac{13}{12} x $ jest liczbą całkowitą, zatem $ x $ jest podzielne przez $ 12 $. Niech $ x = 12t $; równania (1) - (4) otrzymują postać

\[<br />
(5) \qquad  13t+y + z + u + w= 300,<br />
\]
\[<br />
(6) \qquad  6t = y + z + w,<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad  8t = y + u + w,<br />
\]
\[<br />
(8) \qquad  9t = z + u + w.<br />
\]

Dodając stronami równania (5) i (8), otrzymujemy równanie

\[<br />
(9) \qquad  22t + y = 300.<br />
\]

Ponieważ $ y \geq 0 $, więc z (9) wynika, że $ t \leq \frac{300}{22}=13,6\ldots $, zatem

\[<br />
(10) \qquad  t \leq 13.<br />
\]

Dodając stronami (6) i (7) i odejmując (8), otrzymujemy

\[<br />
(11) \qquad  5t = 2y + w.<br />
\]

Ponieważ $ w \geq 0 $, więc z równania (11) wynika, że $ y \leq \frac{5}{2} t $, wobec czego z równania (9) wnioskujemy, że $ 22t + \frac{5}{2}t \geq 300 $, zatem
$ t \geq \frac{600}{49} = 12,2\ldots, $ skąd

\[<br />
(12) \qquad  t \geq 13.<br />
\]

Z (10) i (11) wynika, że

\[<br />
t = 13, \quad \textrm{czyli} \quad x = 156.<br />
\]

Z równań (9), (11), (6) i (7) otrzymujemy kolejno $ y = 14 $, $ w = 37 $, $ z = 27 $, $ u = 53 $. Łatwo sprawdzić, że znalezione liczby spełniają układ równań (1) - (4), stanowią zatem jedyne rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź