XVI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć liczby całkowite $ x $ i $ y $, spełniające równanie

\[<br />
(1) 1 + x + x^2 + x^3 = 2^y.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniają równanie (1). Wówczas $ 2^y $ jest liczbą całkowitą, więc $ y \geq 0 $. Równanie (1) można napisać w postaci

\[<br />
(1 + x)(1 + x^2) = 2^y.<br />
\]

Ponieważ $ 2^y > 0 $ i $ 1 + x^2 > 0 $, więc $ 1 + x > 0 $, tj. $ x > - 1 $. Rozróżnimy dwa przypadki

a) $ x = 0 $, wtedy $ 2^y = 1 $ i $ y = 0 $,

b) $ x > 0 $, wtedy $ 1 + x $ i $ 1 + x^2 $ są dzielnikami liczby $ 2^y $ większymi od $ 1 $, zatem

\[<br />
(2) \qquad  1 + x = 2^k,    1 + x^2 = 2^l,<br />
\]

gdzie $ k $ i $ l $ są liczbami naturalnymi. Ponieważ $ x \geq 1 $, więc $ 1 + x^2 \geq 1+ x $ i $ l \geq k $. Rugując $ x $ z równań (2), otrzymujemy $ (2^k - 1)^2 + 1 = 2^l $, a stąd

\[<br />
(3) \qquad  2^{2k-1} - 2^k + 1 = 2^{l-1}.<br />
\]

Lewa strona równości (3) jest liczbą nieparzystą, zatem $ 2^{l-1} $ jest liczbą nieparzystą, wobec czego $ l = 1 $. W takim razie $ k = 1 $, $ x = 1 $, $ y=2 $.

Równanie (1) ma $ 2 $ rozwiązania w liczbach całkowitych: $ x = y = 0 $ i $ x = 1 $, $ y = 2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź