XVI OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ p > 0, q > 0, pq = 1 $, to

\[<br />
(1 + \frac{1}{p})(1 + \frac{1}{q}) \geq 4.<br />
\]

Rozwiązanie

Z przyjętego założenia co do liczb $ p $ i $ q $ wynika, że

\[<br />
\left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+\frac{1}{q}\right) = \frac{(p+1)(q+1)}{pq} = p+q+2 \geq 2\sqrt{pq} +2=4,<br />
\]

gdyż średnia arytmetyczna liczb dodatnich $ p $ i $ q $ jest co najmniej równa średniej geometrycznej tych liczb.

Można też tak rozumować:

\[<br />
\begin{split}<br />
\left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+\frac{1}{q}\right) - 4  = &<br />
\left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+p\right) - 4 = p +\frac{1}{p} -2 = \\<br />
& = \frac{p^2-2p+1}{p} =\frac{(p-1)^2}{p} \geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź