XVI OM - I - Zadanie 7

Na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ K $ i wyznaczono na prostych $ AC $ i $ BC $ takie punkty $ M $ i $ N $, że $ KM \perp AC $, $ KN \perp BC $. Przy jakim położeniu punktu $ K $ pole trójkąta $ MKN $ jest największe ?

Rozwiązanie

Niech $ BC = a $, $ AC = b $, $ \measuredangle ACB = \gamma $, $ KM = p $, $ KN = q $ (rys. 2).

Zauważmy, że $ \measuredangle MKN = 180^\circ - \gamma $.

Istotnie, jeśli z punktu $ K_1 $. obranego na dwusiecznej kąta $ ACB $ opuścimy prostopadłe $ K_1M_1 $ i $ K_1N_1 $ na ramiona tego kąta, to półproste $ KM $ i $ K_1M_1 $ są równoległe a przy tym jednakowo skierowane gdyż punkty $ K $ i $ K_1 $ leżą po tej samej stronie prostej $ AC $.

To samo dotyczy półprostych $ KN $ i $ K_1N_1 $. Stąd wynika, że kąty $ MKN $ i $ M_1K_1N_1 $ są równe, gdyż jeden otrzymuje się z drugiego przez przesunięcie równoległe. Kąty $ M_1K_1N_1 $ i $ ACB $ są kątami przeciwległymi czworokąta wypukłego, którego dwa pozostałe kąty są proste. Wobec tego $ \measuredangle M_1K_1N_1 = 180^\circ - \gamma $ i tak samo $ \measuredangle MKN  = 180^\circ - \gamma $, zatem

\[<br />
\textrm{Pole } MKN = \frac{1}{2} pq \sin \measuredangle MKN = \frac{1}{2} pq \sin\gamma.<br />
\]

Z tej równości wnioskujemy, że pole $ MKN $ jest największe, gdy iloczyn $ pq $ osiąga największą wartość; jednocześnie zachodzi maksimum iloczynu $ abpq $. Lecz suma liczb $ bp $ i $ aq $ jest stała, gdyż

\[<br />
bp + aq = 2 \cdot \mathrm{pole}\ ABC.<br />
\]

Wobec tego maksimum iloczynu $ bp \cdot aq $ ma miejsce wtedy, gdy $ bp = aq $, tzn. gdy $ \mathrm{pole}\ AKC =\mathrm{pole}\ BKC $, co zachodzi wtedy, gdy punkt $ K $ jest środkiem boku $ AB $.

Rozumowanie powyższe można nieco zmodyfikować, obliczając $ p $ i $ q $ z trójkątów $ AKM $ i $ BKN $:

\[<br />
p = AK \sin \measuredangle A,\quad q = KB \sin \measuredangle B,<br />
\]

stąd

\[<br />
pq = AK \cdot KB \sin \measuredangle A \sin \measuredangle B.<br />
\]

Maksimum $ pq $ zachodzi wtedy, gdy iloczyn $ AK \cdot KB $ jest największy. Ponieważ suma $ AK + KB = AB $ jest stała, więc ma to miejsce wtedy, gdy $ AK = KB $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź