XVI OM - I - Zadanie 8

Na krawędziach bocznych graniastosłupa o podstawie trójkątnej $ ABC $ odmierzono odcinki $ AA_1 = p_1 $, $ BB_1 = p_2 $, $ CC_1 = p_3 $. Prosta równoległa do krawędzi bocznych przecina podstawę $ ABC $ w punkcie $ D $, a płaszczyznę $ A_1B_1C_1 $ w punkcie $ D_1 $ Dowieść, że

\[<br />
DD_1 = \frac{p_1S_1 + p_2S_2 + p_3S_3}{S_1+S_2+S_3}<br />
\]

gdzie $ S_1, S_2, S_3 $ oznaczają odpowiednio pola trójkątów $ BCD $, $ CAD $, $ ABD $.

Rozwiązanie

Długość $ DD_1 = x $ obliczymy korzystając z tego, że objętość $ V $ graniastosłupa trójkątnego ściętego $ ABCA_1B_1C_1 $ jest sumą objętości $ V_1 $, $ V_2 $, $ V_3 $ graniastosłupów ściętych $ DBCD_1B_1C_1 $, $ DCAD_1C_1A_1 $ i $ DABD_1A_1B_1 $ (rys. 3):

\[<br />
(1) \qquad    V_1+V_2+V_3 = V.<br />
\]

Wiadomo, że objętość graniastosłupa trójkątnego ściętego równa się iloczynowi średniej arytmetycznej jego krawędzi bocznych przez pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną prostopadłą do krawędzi bocznych. Niech $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ będą odpowiednio punktami przecięcia prostych$ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $, $ DD_1 $ z pewną płaszczyzną do nich prostopadłą, a $ S_1' $, $ S'_2 $, $ S'_3 $, $ S' $ niech oznaczają pola trójkątów $ B'C'D' $, $ C'A'D' $, $ A'B'D' $ i $ A'B'C' $. Wówczas

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{split}<br />
V_1&=\frac{p_2+p_3+x}{3}S'_1,\\<br />
V_2&=\frac{p_1+p_3+x}{3}S'_2,\\<br />
V_3&=\frac{p_1+p_2+x}{3}S'_3,\\<br />
V&=\frac{p_1+p_2+p_3}{3}S'.<br />
\end{split}<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że

\[<br />
(3) \qquad  \frac{p_2+p_3+x}{3}S'_1 +\frac{p_3+p_1+x}{3}S'_2 + \frac{p_1+p_2+x}{3}S'_3= \frac{p_1+p_2+p_3}{3}S'.<br />
\]

Pola $ S_1' $, $ S_2' $, $ S_3' $, $ S' $ proporcjonalne do pól $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, $ S $ (gdzie
$ S = \mathrm{pole} \triangle ABC $), stosunek proporcjonalności jest równy cosinusowi kąta nachylenia płaszczyzny $ ABC $ do płaszczyzny $ A'B'C' $.

We wzorze (3) możemy zatem zamiast $ S_1' $, $ S_2' $, $ S_3' $, $ S' $ napisać $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, $ S $:

\[<br />
(4) \qquad  \frac{p_2+p_3+x}{3}S_1 +\frac{p_3+p_1+x}{3}S_2 + \frac{p_1+p_2+x}{3}S_3= \frac{p_1+p_2+p_3}{3}S.<br />
\]

Rozwiązując równanie (4) względem $ x $, otrzymujemy

\[<br />
x=\frac{p_1S_1+p_2S_2+p_3S_3}{S}.<br />
\]

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu zastosowaliśmy wzór na objętość graniastosłupa trójkątnego ściętego. Wzór ten można udowodnić na podstawie twierdzenia o objętości pryzmatoidu. Pryzmatoidem nazywa się wielościan wypukły, którego wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach równoległych. Szczególnym przypadkiem pryzmatoidu jest graniastosłup, a także ostrosłup. Na każdej z owych dwóch płaszczyzn znajduje się jedna ściana, lub tylko jedna krawędź wielościanu; w przypadku ostrosłupa na jednej z nich leży tylko jeden wierzchołek. Pozostałe ściany są trójkątami lub trapezami.

Niech $ P_1 $ i $ P_2 $ oznaczają pola podstaw pryzmatoidu, tzn. ścian leżących w płaszczyznach równoległych; w przypadku, gdy któraś z podstaw redukuje się do odcinka lub punktu, przypisujemy jej pole równe zeru. Oznaczmy następnie literą $ P_s $ pole przekroju środkowego pryzmatoidu, tj. pole przekroju tej bryły płaszczyzną równooddaloną od płaszczyzn podstaw, a literą $ h $ - odległość tych płaszczyzn, czyli wysokość pryzmatoidu. Udowodnimy, że objętość $ V $ pryzmatoidu wyraża się wzorem

\[<br />
(5) \qquad  V = \frac{1}{6}h \cdot (P_1 + P_2 + 4P_s).<br />
\]

W tym celu obierzmy wewnątrz przekroju środkowego dowolny punkt $ O $. Objętość $ V $ jest równa sumie objętości ostrosłupów, których wspólnym wierzchołkiem jest punkt $ O $, a podstawami - ściany pryzmatoidu. Te dwa ostrosłupy, których podstawami są podstawy pryzmatoidu, mają wysokości równe $ \frac{1}{2} h $, więc ich objętości są odpowiednio równe $ \frac{1}{6} P_1h $ i $ \frac{1}{6}P_2h $. Podstawą każdego z pozostałych ostrosłupów ,,bocznych'' jest trójkąt lub trapez. W przypadku pierwszym chodzi o objętość takiego ostrosłupa $ OABC $ (rys. 4), w którym dwa z wierzchołków trójkąta $ ABC $, np. $ A $ i $ B $ leżą na jednej podstawie pryzmatoidu, a trzeci z nich, tj. $ C $ - na drugiej. Płaszczyzna przekroju środkowego przecina ten ostrosłup według trójkąta $ OMN $, gdzie $ M $ i $ N $ są środkami krawędzi $ AC $ i $ BC $. Objętość ostrosłupa $ OABC $ jest $ 4 $ razy większa od objętości ostrosłupa $ OMNC $ równej $ \frac{1}{6} h \cdot \textrm{pole }OMN $, zatem

\[<br />
\textrm{objętość } OABC = \frac{4}{6} h \cdot (\textrm{pole }OMN).<br />
\]

W przypadku drugim mamy obliczyć objętość takiego ostrosłupa $ OABCD $ (rys. 5), w którym jeden z boków równoległych trapezu $ ABCD $, np. $ AB $ leży na jednej podstawie pryzmatoidu, a drugi, tj. $ CD $, na drugiej. Płaszczyzna przekątna $ OCA $ dzieli ten ostrosłup na dwa ostrosłupy $ OABC $ i $ OACD $ o podstawach trójkątnych, których objętość obliczamy jak poprzednio; dodając je, otrzymujemy

\[<br />
\textrm{objętość }OABCD = \frac{4}{6}h \cdot (\textrm{pole }OMN),<br />
\]

gdzie $ M $ i $ N $ są środkami krawędzi $ AD $ i $ BC $.

Suma objętości wszystkich ostrosłupów bocznych równa się iloczynowi $ \frac{4}{6}h $ przez sumę pól wszystkich trójkątów $ OMN $ znajdujących się w tych ostrosłupach, równą polu $ P_s $ przekroju środkowego, tj. równa się $ \frac{4}{6} hP_s $. Dodając objętość wszystkich ostrosłupów, otrzymujemy wzór (5).

Graniastosłup trójkątny ścięty jest pryzmatoidem o sześciu wierzchołkach, z których cztery są wierzchołkami trapezu, a dwa pozostałe leżą na równoległej do podstaw trapezu. Rys. 6 wyobraża ten pryzmatoid w rzucie równoległym ukośnym na płaszczyznę owego trapezu.

Oznaczając w sposób wskazany na rys. 6 literami $ a $, $ b $, $ c $ długości krawędzi bocznych graniastosłupa, literami $ p $, $ q $, $ r $ długości boków trójkąta $ PQR $, będącego przekrojem graniastosłupa płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi bocznych, oraz literą $ h $ - wysokość pryzmatoidu równą wysokości trójkąta $ PQR $ względem boku $ QR $, otrzymujemy

\[<br />
P_1 = \frac{1}{2} (b+c) \cdot p,\<br />
P_2 = 0,\<br />
P_s = \frac{1}{2} \left( \frac{a + b}{2} + \frac{a + c}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}p.<br />
\]

Podstawiając te wartości do wzoru (5) i biorąc pod uwagę, że $ p \cdot h = 2 \cdot \textrm{pole }PQR $, otrzymujemy na objętość $ V $ graniastosłupa wzór

\[<br />
V = \frac{a + b + c}{3}\cdot \textrm{pole }PQR.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź