XVI OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli wartość funkcji $ y = ax^2 + bx + c $ dla trzech kolejnych wartości całkowitych zmiennej $ x $ jest liczbą całkowitą, to jest również liczbą całkowitą dla każdej wartości całkowitej $ x $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że gdy $ x $ przybiera wartości całkowite $ k - 1 $, $ k $, $ k + 1 $, wtedy $ y $ przybiera wartości całkowite $ m $, $ n $, $ p $. Z równości

\[<br />
(1) \qquad  a (k - 1)^2 + b (k - 1) + c = m,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad         ak^2 + bk + c = n,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  a (k + 1)^2 + b (k+ 1) + c = p,<br />
\]

otrzymujemy przez odejmowanie równości

\[<br />
(4) \qquad  2ak - a + b = n - m,<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad  2ak + a + b = p - n.<br />
\]

Z (4) i (5) wynika podobnie równość

\[<br />
(6) \qquad  2a = p - 2n + m.<br />
\]

Na mocy (6) liczba $ 2a $ jest całkowita, wobec czego z (4) i (5) wnioskujemy, że liczby $ a + b $ i $ a - b $ są całkowite, a więc całkowita też jest liczbą $ 2b $.

Stąd wynika dalej, że liczba c jest całkowita, gdyż według (2)

\[<br />
c = n-ak^2-bk = n- (a + b) k^2 + 2b \cdot \frac{k(k-1)}{2},<br />
\]

a liczba $ \frac{1}{2} k (k - 1) $ jest całkowita.

Otóż

\[<br />
(7) \qquad  y = ax^2 + bx + c = (a + b) x^2 - 2b \cdot \frac{x(x-1)}{2} + c.<br />
\]

Gdy liczba $ x $ jest całkowita, liczba $ \frac{1}{2} x(x - 1) $ jest także całkowita; z równości (7) wynika, że wówczas y jest liczbą całkowitą.

Dowód twierdzenia można ująć nieco inaczej. Wykazujemy najpierw, że jeżeli wartość funkcji kwadratowej $ y = ax^2 + bx + c $ jest liczbą całkowitą dla wartości $ -1 $, $ 0 $ i $ 1 $ zmiennej $ x $, to jest też liczbą całkowitą dla każdego całkowitego $ x $. Mianowicie z powyższego założenia wynika, że liczby $ a-b+c $, $ c $ i $ a + b + c $ są całkowite, wobec czego całkowite są również ich różnice $ a + b $ i $ 2b $. Ponieważ zaś

\[<br />
y = ax^2 + bx + c = (a + b) x^2 - 2b \cdot \frac{x(x-1)}{2} + c,<br />
\]

więc istotnie $ y $ jest całkowite dla każdego całkowitego $ x $.

Załóżmy, że funkcja $ f(x) = ax^2 + bx + c $ przybiera wartości całkowite dla wartości $ k - 1 $, $ k $, $ k + 1 $ zmiennej $ x $, gdzie $ k $ oznacza pewną liczbę całkowitą. Wówczas funkcja kwadratowa $ g (x) = a (x + k)^2 +  b (x + k) + c $ przybiera wartości całkowite dla wartości $ -1 $, $ 0 $, $ 1 $ zmiennej $ x $, więc na mocy poprzedniego ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $ x $. W takim razie funkcja $ f(x) $ ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $ x $, albowiem $ f(x) = g (x - k) $, a gdy $ x $ jest liczbą całkowitą, to $ x - k $ jest także liczbą całkowitą.

Uwaga. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze:

Jeżeli wielomian stopnia $ n $ przybiera wartości całkowite dla wartości $ k $, $ k + 1, k + 2, \ldots, k + n $, zmiennej $ x $, gdzie $ k $ oznacza daną liczbę całkowitą, to wielomian ten przybiera wartość całkowitą dla każdego całkowitego $ x $.

Dowód, a) Przeprowadzimy dowód najpierw dla przypadku, gdy $ k = 0 $.

Zastosujemy metodę indukcji. Gdy $ n = 1 $, twierdzenie jest prawdziwe. Jeśli bowiem wartości $ a_0 $ i $ a_0 + a_1 $ które przybiera wielomian stopnia pierwszego $ a_0x + a_1 $ dla $ x = 0 $ i $ x =1 $ są całkowite, to całkowita jest też różnica $ (a_0 + a_1) - a_0 = a_1 $, wobec czego $ a_0x + a_1 $ jest dla każdego całkowitego $ x $ liczbą całkowitą.

Niech $ n $ będzie liczbą całkowitą większą od $ 1 $. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia $ n - 1 $. Jeżeli wielomian

\[<br />
P (x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n<br />
\]

przybiera wartości całkowite dla $ x = 0, 1, 2, \ldots, n $, to wielomian

\[<br />
\begin{split}<br />
P (x + 1) = a_0 (x + 1)^n + a_1 (x + 1)^{n-1} + \ldots + a_{n-1}(x + 1)  + a_n = \\<br />
= a_0x^n + (na_0 + a_1)x^{n-1} + \ldots<br />
\end{split}<br />
\]

przybiera wartości całkowite dla $ x=0, 1, 2, \ldots, (n - 1) $. Wobec tego wielomian

\[<br />
Q (x) = P (x + 1) - P (x) = na_0x^{n-1} + \ldots<br />
\]

też przybiera wartości całkowite dla $ x = 0, 1, 2, \ldots, (n- 1) $. Lecz $ Q (x) $ jest wielomianem stopnia $ n - 1 $, więc na mocy założenia indukcyjnego wartość $ Q (x) $ jest całkowita dla każdego całkowitego $ x $. Stąd wynika, że jeżeli dla pewnego całkowitego $ x $ jedna z liczb $ P (x) $, $ P (x + 1) $ jest całkowita, to i druga jest całkowita. Inaczej mówiąc, jeżeli dla pewnego całkowitego $ x $ liczba $ P (x) $ jest całkowita, to całkowite są również liczby $ P (x + 1) $ i $ P (x - 1) $. Ponieważ zaś liczba $ P (0) $ jest całkowita, więc $ P (x) $ jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego $ x $, c.n.d.

b) Niech $ k $ będzie dowolnie daną liczbą całkowitą. Załóżmy, że wielomian

\[<br />
P (x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n<br />
\]

przybiera wartości całkowite dla $ x = k, k + 1, \ldots , k + n $. Wówczas wielomian

\[<br />
\overline{P} (x) = a_0(x+k)^n+  a_1 (x + k)^{n-1} + \ldots +a_{n-1}(x + k) + a_n<br />
\]

przybiera wartości całkowite dla $ x = 0, 1,\ldots, n $, więc na mocy a) ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $ x $. W takim razie wartość $ P(x) $ jest całkowita dla każdego całkowitego $ x $, gdyż $ P (x) =\overline P (x -k) $, a gdy $ x $ jest liczbą całkowitą, to $ x - k $ jest też liczbą całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź