XVI OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli dla każdej wartości $ a $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad x \sin \alpha + y \sin 2 \alpha + z \sin 3 \alpha = 0,\quad \text{ to } \quad x = y = z = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Podstawiając do równania (1) kolejno $ \alpha = \frac{1}{2}\pi $, $ \alpha = \frac{1}{3}\pi $ i $ \alpha = \frac{1}{4}\pi $, otrzymujemy układ równań

\[<br />
(2) \qquad  x - z = 0,   \quad  x + y = 0,  \quad  \frac{\sqrt{2}}{2} x + y + \frac{\sqrt{2}}{2}z = 0.<br />
\]

Z pierwszego i drugiego równania układu (2) otrzymujemy $ z = x $, $ y = -x $; podstawienie do trzeciego z tych równań daje równanie $ (\sqrt{2} - 1) x = 0 $, skąd $ x = 0 $, wobec czego również $ z = 0 $ i $ y = 0 $.

Zamiast $ \frac{1}{2}\pi $, $ \frac{1}{3}\pi $ i $ \frac{1}{4}\pi $ można by wybrać jakieś inne dogodne wartości, np. $ \frac{1}{6}\pi $, $ \frac{1}{3}\pi $ i $ \frac{1}{4}\pi $.

Uwaga. Własność funkcji $ \sin \alpha $, $ \sin 2\alpha $, $ \sin 3\alpha $, którą wyraża dowiedzione wyżej twierdzenie, wiąże się z pewnym pojęciem występującym w teorii funkcji.

O funkcjach $ f_1 (x), f_2 (x), \ldots,f_n (x) $ zmiennej $ x $ określonych w przedziale $ (a, b) $, tj. gdy $ a < x < b $, mówimy, że są liniowo niezależne w tym przedziale, jeżeli równość

\[<br />
(*) \qquad c_1f_1 (x) + c_2f_2 (x)+ \ldots+ c_nf_n (x) = 0<br />
\]

zachodzi dla każdej wartości $ x $ z przedziału $ (a, b) $ tylko wtedy, gdy $ c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0 $. W przypadku przeciwnym, tj. gdy istnieją takie liczby $ c_1, c_2, \ldots, c_n $, z których co najmniej jedna nie jest zerem, że równość (*) zachodzi dla każdego $ x $ z przedziału $ (a, b) $, funkcje $ f_1 (x),f_2 (x),  \ldots, f_n (x) $ nazywamy liniowo zależnymi w przedziale $ (a, b) $. Możemy wówczas wyrazić jedną z tych funkcji jako tzw. kombinację liniową funkcji pozostałych, czyli jako sumę iloczynów tych funkcji przez pewne liczby. Jeżeli np. $ c_n \neq 0 $, to z równości (*) wynika, że

\[<br />
f_n(x) = -\frac{c_1}{c_n} f_1(x)-\frac{c_2}{c_n} f_2(x)-\ldots-\frac{c_{n-1}}{c_n} f_{n-1}(x)<br />
\]

dla każdego $ x $ z $ (a, b) $.

Funkcje liniowo niezależne w pewnym przedziale są również liniowo niezależne w każdym przedziale większym (tzn. zawierającym poprzedni przedział), w jakim są określone.

W rozwiązaniu poprzedniego zadania udowodniliśmy, że funkcje $ \sin \alpha $, $ \sin 2\alpha $, $ \sin 3\alpha $ zmiennej $ \alpha $ są liniowo niezależne w każdym przedziale zawierającym liczby $ \frac{1}{2}\pi $, $ \frac{1}{3}\pi $, $ \frac{1}{4}\pi $, np. w przedziale $ (0, \pi) $, a więc również w zbiorze wszystkich liczb. Można udowodnić, że są one liniowo niezależne w dowolnie małym przedziale.

Tak samo liniowo niezależne są funkcje $ \sin \alpha,\ \sin 2\alpha,\ \ldots,\ \sin n \alpha $ oraz $ \cos \alpha,\ \cos 2\alpha,\ \ldots,\ \cos n \alpha $ ($ n $ - dowolna liczba naturalna) a także wszystkie te funkcje razem wzięte.

Innym przykładem funkcji liniowo niezależnych w dowolnym przedziale są funkcje $ x^0 = 1, x, x^2, \ldots, x^n $, gdyż jeżeli liczby $ c_0, c_1, \ldots, c_n $ nie są wszystkie zerami, to równanie

\[<br />
c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n = 0<br />
\]

może być spełnione co najwyżej przez $ n $ wartości $ x $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź