XVI OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że układ warunków

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c},<br />
\]
\[<br />
(2) \qquaad c \neq 0,<br />
\]

gdzie $ a, b, c $ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

\[<br />
(I) \qquad a > 0, \quad b > 0,<br />
\]
\[<br />
(II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

1. Udowodnimy, że z układu warunków (1) i (2) wynika układ warunków (I) i (II). Z równości (1) wynika, że istnieją wartości pierwiastków $ \sqrt{a+c} $ i $ \sqrt{b+c} $, zatem

\[<br />
(3) \qquad  a + c \geq 0,  \   b + c \geq 0.<br />
\]

Podnosimy obie strony równości (1) do kwadratu:

\[<br />
a + b = a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)},<br />
\]

stąd

\[<br />
(4) \qquad  \sqrt{(a + c)(b + c)} = -c.<br />
\]

Z (2) i (4) wynika, że

\[<br />
(5) \qquad  c < 0.<br />
\]

Z (3) i (5) wynikają nierówności

\[<br />
(I) \qquad a > 0,  \quad   b > 0.<br />
\]

Podnosząc do kwadratu obie strony równości (4), otrzymujemy równość

\[<br />
(a + c) (b + c) = c^2,<br />
\]

a stąd po uproszczeniu równość

\[<br />
(7) \qquad  bc + ca + ab = 0.<br />
\]

Dzieląc obie strony równości (7) przez liczbę $ abc $, która na mocy (5) i (I) jest różna od zera, otrzymujemy

\[<br />
(II) \qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.<br />
\]

2. Udowodnimy, że z układu warunków (I) i (II) wynika układ warunków (1) i (2). Z (I) wynika, że $ \frac{1}{a}>0 $ i $ \frac{1}{b}>0 $, zatem wobec (II)

\[<br />
(III) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{c}<0, \quad   \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 0,<br />
\]
\[<br />
(IV) \qquad \frac{1}{c} < 0.<br />
\]

Z (IV) wynika, że

\[<br />
(V) \qquad c < 0,<br />
\]

warunek (2) jest przeto spełniony.

Z (I) i (V) wynika, że $ ac < 0 $ i $ bc < 0 $; mnożąc strony nierówności (III) odpowiednio przez $ ac $ i $ bc $ otrzymujemy

\[<br />
(VI) \qquad a + c>0,  \quad  b + c> 0.<br />
\]

Po pomnożeniu obu stron równości (II) przez $ abc $ otrzymujemy równość

\[<br />
bc + ca + ab = 0,<br />
\]

zatem

\[<br />
bc + ca + ab + c^2 = c^2,<br />
\]

czyli

\[<br />
(a + c)(b + c) = c^2<br />
\]

Uwzględniając (V), otrzymujemy stąd równość

\[<br />
\sqrt{(a + c) (b + c)} = -c,<br />
\]

z której wynika, że

\[<br />
a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)} = a + b.<br />
\]

Powołując się na nierówności (VI), możemy tę ostatnią równość napisać w postaci

\[<br />
(\sqrt{a+c} + \sqrt{b+c})^2 = a + b,<br />
\]

skąd wynika równość

\[<br />
(1) \qquad  \sqrt{a+c} + \sqrt{b+c} = \sqrt{a+b}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź