XVI OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze $ p $, że $ 4p^2 +1 $ i $ 6p^2 + 1 $ ą również liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie

Do rozwiązania zadania dojdziemy badając podzielność liczb $ u  = 4p^2 + 1 $ i $ v = 6p^2 + 1 $ przez $ 5 $. Wiadomo, że reszta z dzielenia przez liczbę naturalną iloczynu dwóch liczb całkowitych równa się reszcie z dzielenia przez ową liczbę iloczynu ich reszt. Na tej podstawie znajdziemy łatwo, co następuje:
\begin{center}
Gdy $ p \equiv 0 \pmod 5 $, wtedy $ u \equiv 1 \pmod 5 $, $ v \equiv 1 \pmod 5 $;\\
Gdy $ p \equiv 1 \pmod 5 $, wtedy $ u \equiv 0 \pmod 5 $, $ v \equiv 2 \pmod 5 $;\\
Gdy $ p \equiv 2 \pmod 5 $, wtedy $ u \equiv 2 \pmod 5 $, $ v \equiv 0 \pmod 5 $;\\
Gdy $ p \equiv 3 \pmod 5 $, wtedy $ u \equiv 2 \pmod 5 $, $ v \equiv 0 \pmod 5 $;\\
Gdy $ p \equiv 4 \pmod 5 $, wtedy $ u \equiv 0 \pmod 5 $, $ v \equiv 2 \pmod 5 $.\\
\end{center}
Z powyższego wynika, że liczby $ u $ i $ v $ mogą być obie liczbami pierwszymi tylko wtedy, gdy $ p \equiv 0 \pmod 5 $, tzn. gdy $ p = 5 $, ponieważ $ p $ ma być liczbą pierwszą. W tym przypadku $ u = 4 \cdot 5^2 + 1  = 101 $,$  v=6\cdot5^2+1 = 151 $, więc są to istotnie liczby pierwsze.

Zatem jedynym rozwiązaniem zadania jest liczba $ p = 5 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź