XVI OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od 5 liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na 5 kwadratów.

Rozwiązanie

a) Zauważmy najpierw, że mając kwadrat podzielony na $ m $ kwadratów możemy jeden z tych kwadratów podzielić na cztery kwadraty, łącząc środki przeciwległych jego boków. Cały kwadrat będzie wówczas podzielony na $ m + 3 $ kwadraty.

Niech $ n $ będzie liczbą naturalną większą od $ 1 $. Podzielmy każdy bok kwadratu $ Q $ na $ n $ równych części i połączmy odcinkami odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków (dwa punkty przeciwległych boków kwadratu nazywamy tu odpowiednimi, gdy leżą na prostopadłej do tych boków). Kwadrat $ Q $ zostanie wtedy podzielony na $ n^2 $ mniejszych kwadratów $ Q_i $, przy czym do każdego boku kwadratu $ Q $ przylega $ n $ kwadratów $ Q_i $.

Weźmy pod uwagę dwa sąsiednie boki kwadratu $ Q $; przylega do nich $ 2n - 1 $ kwadratów $ Q_i $, gdyż jeden z nich przylega do obu tych boków; pozostałe kwadraty $ Q $ wypełniają dokładnie kwadrat $ R $ o boku równym $ \frac{n-1}{n} $ boku kwadratu $ Q $. Gdy skasujemy wszystkie linie dokonanego podziału, jakie znajdują się w kwadracie $ R $, otrzymamy podział kwadratu $ Q $ na $ 2n - 1 $ kwadratów $ Q_i $ i kwadrat $ R $, czyli na $ (2n - 1) +1 = 2n $ kwadratów.

Kwadrat można więc podzielić na dowolną parzystą liczbę kwadratów większą od $ 2 $.

W takim razie, na mocy uwagi poprzedniej, kwadrat można również podzielić na $ 2n + 3 = 2 (n + 1) + 1 $ ($ n> 1 $) kwadratów, tzn. na dowolną nieparzystą liczbę kwadratów, większą od $ 5 $.

Udowodniliśmy, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od $ 5 $ liczbę kwadratów.

b) Gdy kwadrat podzielony jest na same kwadraty, to w takiej figurze występują tylko kąty proste lub półpełne i kwadraty podziału mają boki odpowiednio równoległe do boków całego kwadratu.

Przypuśćmy, że kwadrat $ Q $ o boku długości $ l $ i o wierzchołkach $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ podzielony został na $ 5 $ kwadratów $ Q_1 $, $ Q_2 $, $ Q_3 $, $ Q_4 $, $ Q_5 $. Każdy wierzchołek kwadratu $ Q $ jest wierzchołkiem jednego z kwadratów $ Q_i $ ($ i = 1, 2, \ldots, 5 $), przy czym dwa różne wierzchołki kwadratu $ Q $ nie mogą należeć do tego samego kwadratu $ Q_i $, gdyż ich odległość jest $ \geq l $, więc jest większa od długości boku $ Q_i $. Niech $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ będą odpowiednio wierzchołkami kwadratów $ Q_1 $, $ Q_2 $, $ Q_3 $, $ Q_4 $ o bokach długości $ a $, $ b $, $ c $, $ d $.

Gdyby wszystkie wierzchołki kwadratu $ Q_5 $ leżały wewnątrz kwadratu $ Q $, to boki kwadratów $ Q_i $ pokrywałyby całkowicie boki kwadratu $ Q $, tj. zachodziłaby równość

\[<br />
a + b = b+c = c+d = d+a=l,<br />
\]

skąd wynikałoby, że $ c = a $, $ d = b $,
wobec czego pole $ Q $ wyrażałoby się wzorem

\[<br />
\mathrm{pole}\ Q = 2a^2 + 2b^2 +  \mathrm{pole}\ Q_5,<br />
\]

a także wzorem

\[<br />
\mathrm{pole}\ Q = (a + b)^2,<br />
\]

skąd wynikałoby, że

\[<br />
\mathrm{pole}\ Q_5= (a+ b)^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a - b)^2 \leq 0,<br />
\]

co jest niemożliwe.

Gdyby któryś wierzchołek kwadratu $ Q_5 $ leżał na jednym z boków kwadratu $ Q $, np. na $ AB $, to na $ AB $ leżałby któryś z boków kwadratu $ Q_5 $, np. $ MN $. Pozostałe $ 2 $ wierzchołki leżałyby na prostopadłych do $ AB $ w punktach $ M $ i $ N $ w odległości mniejszej niż $ l $ od $ AB $, tj. znajdowałyby się wewnątrz kwadratu $ Q_5 $. Stąd wynikałoby, że

\[<br />
b+c = l,  \quad c + d = l, \quad  d+a=l \quad \textrm{oraz}\quad a + b < l.<br />
\]

Ten układ warunków jest jednak sprzeczny, gdyż z trzech pierwszych warunków wynika, że $ (b + c) - (c + d) + (d + a) = l -l + l =l $, tj. że $ a + b = l $, co przeczy ostatniemu z nich.

Założenie, że kwadrat $ Q $ został podzielony na $ 5 $ kwadratów doprowadziło do sprzeczności. Podział taki jest więc niemożliwy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź